Violympic toán 8

Phạm Vũ Trí Dũng

Cho a, b là 2 số dương thỏa mãn: a + b = 2. Tìm GTNN của M = \(\frac{a^2}{1+a}+\frac{b^2}{1+b}\)

Nguyễn Việt Lâm
Nguyễn Việt Lâm Giáo viên 10 tháng 4 2020 lúc 17:58

Sử dụng Cauchy thuần cũng đơn giản thôi:

\(\frac{a^2}{1+a}+\frac{1+a}{4}\ge2\sqrt{\frac{a^2\left(1+a\right)}{4\left(1+a\right)}}=a\) ; \(\frac{b^2}{1+b}+\frac{1+b}{4}\ge b\)

Cộng vế với vế:

\(\frac{a^2}{1+a}+\frac{b^2}{1+b}+\frac{2+a+b}{4}\ge a+b\)

\(\Leftrightarrow M+\frac{4}{4}\ge2\Leftrightarrow M\ge1\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=1\)

Bình luận (0)
Trần Quốc Khanh
Trần Quốc Khanh 10 tháng 4 2020 lúc 14:50

C2: Dự đoán điểm rơi a=b=1 thay vào đc M=1, vậy MIN M=1

Vậy ta cần CM: \(\frac{a^2}{1+a}+\frac{b^2}{1+b}\ge\frac{\left(1+a\right)\left(1+b\right)}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)}\)

\(\Leftrightarrow\frac{a^2\left(1+b\right)+b^2\left(1+a\right)-\left(1+a\right)\left(1+b\right)}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)}\ge0\)

Mà (1+a)(1+b)>0 với a,b dương nên cần chứng minh

\(a^2+a^2b+b^2+ab^2-1-a-b-ab\ge0\)

Ta có: VT=\(\left(a+b\right)^2-2ab+ab\left(a+b\right)-\left(a+b\right)-ab-1\)

\(\Leftrightarrow VT=4-2ab+2ab-2-ab-1\)

\(\Leftrightarrow VT=1-ab\)(1)

Áp dụng cosi ta có: \(a+b\ge2\sqrt{ab}\Rightarrow2\ge2\sqrt{ab}\)

\(\Leftrightarrow1\ge\sqrt{ab}\Leftrightarrow1\ge ab\)

Vậy (1) luôn \(\ge0\)

Nên ta có ĐPCM

SUy ra MIN M=1 với a=b=1

Bình luận (0)
Trần Quốc Khanh
Trần Quốc Khanh 10 tháng 4 2020 lúc 14:38

C1: Dùng BĐT Shwarz ta có:

\(\frac{a^2}{1+a}+\frac{b^2}{1+b}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{a+b+1+1}=\frac{4}{4}=1\)

Đẳng thức của BĐT Shwarz xảy ra khi

\(\frac{a^2}{1+a}=\frac{b^2}{1+b}\)

\(\Leftrightarrow a^2+a^2b=b^2+ab^2\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a+b\right)+ab\left(a-b\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a+b+ab\right)=0\)

Vậy a=b=1..Ko bk thì hỏi cách 2

Bình luận (0)

Các câu hỏi tương tự

Khoá học trên OLM của Đại học Sư phạm HN

Loading...

Khoá học trên OLM của Đại học Sư phạm HN