đkxđ : xy\(\ne\)0
phương trình 2 suy ra
\(\left(\frac{x^2+y^2}{x^2y^2}\right)\left(xy+1\right)^2=8\\ \Leftrightarrow\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\right)=\frac{8}{\left(xy+1\right)^2}\)
ta có \(\frac{8}{\left(xy+1\right)^2}=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\ge\frac{2}{xy}\)( với xy khác 0 do đkxđ)
\(\Leftrightarrow\left(xy-1\right)^2\le0\) hay xy = 1
thay vào phương trình 1 ta có
\(\left(x^3+y^3\right)\left(1+\frac{1}{xy}\right)^3=16\\ \Leftrightarrow\left(x+y\right)\left[\left(x+y\right)^2-3xy\right]\left(1+1\right)^3=16\\ \Leftrightarrow\left(x+y\right)\left[\left(x+y\right)^2-3\right]=2\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^3-3\left(x+y\right)=2\)
đặt x+y = a ta có phương trình mới : \(a^3-3a-2=0\)
giải phương trình trên ta thu được nghiệm \(\left\{{}\begin{matrix}a=2\\a=-1\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y=2\\x+y=-1\end{matrix}\right.\)
với \(\left\{{}\begin{matrix}x+y=2\\xy=1\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=1\end{matrix}\right.\)
với \(\left\{{}\begin{matrix}x+y=-1\\xy=1\end{matrix}\right.\Rightarrow\left(x;y\right)\in\varnothing\)
vậy S = (1;1)
