Question

a. so sanh:

31^11 va 17^14

b. tìm hai số tự nhiên a va b lớn hơn 1, thỏa man điều kiện:

a+2b=48 va ƯCLN(a;b)+3*BCNN(a;b)=114

Answer 1

a) 17¹⁴>16¹⁴=2⁵⁶>2⁵⁵=32¹¹>31¹¹

Answer 2

Lời giải:

a)

$31^{11}< 32^{11}=(2^5)^{11}=2^{55}$

$17^{14}> 16^{14}=(2^4)^{14}=2^{56}> 2^{55}$

$\Rightarrow 31^{11}< 17^{14}$

b)

Gọi $d$ là ƯCLN của $a,b$. Khi đó, đặt $a=dx, b=dy$ (với $x,y$ nguyên tố cùng nhau, $x,y\in\mathbb{N}^*$)

$\Rightarrow $ BCNN$(a,b)=dxy$

Ta có: \(\left\{\begin{matrix} dx+2dy=48\\ d+3dxy=114\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} d(x+2y)=48\\ d(1+3xy)=114\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 48\vdots d\\ 114\vdots d\end{matrix}\right.\) nên $d$ là ước chung của $48,114$. Khi đó $d$ có thể nhận các giá trị là $1,2,3,6$

Nếu $d=1$ thì \(1+3xy=114\Rightarrow xy=\frac{113}{3}\not\in\mathbb{N}\) (loại)

Nếu $d=2$ thì $xy=\frac{56}{3}\not\in\mathbb{N}$ (loại)

Nếu $d=3$ thì $xy=\frac{37}{3}$ (loại)

Nếu $d=6$ thì \(\left\{\begin{matrix} x+2y=8\\ xy=6\end{matrix}\right.\). Vì $x=8-2y$ chẵn và nên kết hợp với $xy=6$ ta suy ra $x=2$ hoặc $x=6$.

Nếu $x=2\Rightarrow y=3$ (thỏa mãn). Kéo theo $a=dx=12; b=dy=18$

Nếu $x=6\Rightarrow y=1$ (thỏa mãn). Kéo theo $a=dx=36, b=dy=6$

Answer 3

Lời giải phần b sau khi sửa đề:

$a+2b=48$ và \([\text{ƯCLN (a,b)}+3]\text{BCNN(a,b)}=114\)

-----------------

Cách đặt vẫn như bài phía dưới. Ta có:

\(\left\{\begin{matrix} dx+2dy=48\\ (d+3)dxy=114\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} d(x+2y)=48\\ d(d+3)xy=114\end{matrix}\right.\) suy ra $d$ là bội chung của $48,114$

$\Rightarrow d$ có thể nhận các giá trị $1,2,3,6$ (lập luận như bài phía dưới)

Nếu $d=1$ thì: \(xy=\frac{114}{d(d+3)}=\frac{57}{2}\not\in\mathbb{N}\)

Nếu $d=2$ thì $xy=\frac{114}{d(d+3)}=\frac{114}{2(2+3)}=\frac{57}{5}$ (loại)

Nếu $d=3$ thì $xy=\frac{114}{d(d+3)}=\frac{114}{3(3+3)}=\frac{19}{3}$ (loại)

Nếu $d=6$ thì $xy=\frac{19}{9}$ (loại)

Vậy không tồn tại $x,y$ thỏa mãn, kéo theo không tồn tại $a,b$ thỏa mãn.