Lời giải:
Coi pt trên là PT bậc 2 ẩn $x$
Để PT có nghiệm nguyên thì
\(\Delta'=9(y-1)^2-9(3y^2+2y-35)=t^2(t\in\mathbb{N})\)
$\Leftrightarrow -18y^2-36y+324=t^2$
$\Leftrightarrow t^2+18(y+1)^2=342$
Thấy rằng $18(y+1)^2=342-t^2\leq 342\Rightarrow (y+1)^2\leq 19$
$\Rightarrow -5< y+1< 5(1)$
Mặt khác: $t^2=342-18(y+1)^2\vdots 2\Rightarrow t\vdots 2\Rightarrow t^2\vdots 4$
$\Rightarrow 18(y+1)^2=342-t^2$ chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 4
$\Rightarrow y+1$ lẻ $(2)$
Từ $(1);(2)\Rightarrow y+1\in\left\{-3;-1; 1;3\right\}$
Nếu $y+1=\pm 3\Rightarrow t^2=180\Rightarrow t=5\sqrt{6}\not\in\mathbb{N}$ (loại)
Nếu $y+1=1\Rightarrow y=0$. Thay vào PT ban đầu:
$9x^2-6x-35=0$. PT này không có nghiệm nguyên $x$ (loại)
Nếu $y+1=-1\Rightarrow y=-2$. Thay vào PT ban đâu:
$9x^2-18x-27=0\Rightarrow x=3$ hoặc $x=-1$
Vậy.....
Có một cách khác khó nghĩ hơn:
Từ pt ban đầu, ta có:
\(9x^2+6x\left(y-1\right)+\left(y-1\right)^2+2y^2+4y+2=38\)
\(\Leftrightarrow\left(3x+y-1\right)^2+2\left(y+1\right)^2=38\)
x, y nguyên nên "dễ" để tìm ra các cặp số thỏa mãn như sau:
\(\left\{{}\begin{matrix}\left(3x+y-1\right)^2=36\\2\left(y+1\right)^2=2\end{matrix}\right.\)
Từ đó suy ra \(y=\pm1\), và từ đó suy ra x
