Violympic toán 9

Văn Thắng Hồ

Cho hai số thực a và b khác nhau thỏa \(a-b=\sqrt{1-b^2}-\sqrt{1-a^2}\)

Chứng minh a+b=0

Vũ Huy Hoàng
28 tháng 3 2020 lúc 8:23

\(a-b=\sqrt{1-b^2}-\sqrt{1-a^2}\) \(\left(a^2\le1;b^2\le1\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(\sqrt{1-b^2}+\sqrt{1-a^2}\right)=a^2-b^2\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{1-b^2}+\sqrt{1-a^2}=a+b\) (Vì \(a\ne b\)) (\(a+b\ge0\)) (1)

\(\Leftrightarrow2-a^2-b^2+2\sqrt{a^2b^2-a^2-b^2+1}=a^2+2ab+b^2\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{a^2b^2-a^2-b^2+1}=a^2+b^2+ab-1\) (\(a^2+ab+b^2\ge1\))

\(\Leftrightarrow a^2b^2-a^2-b^2+1=a^4+b^4+3a^2b^2+2a^3b+2ab^3-2a^2-2b^2-2ab+1\)

\(\Leftrightarrow\left(a^4+2a^3b+2a^2b^2+2ab^3+b^4\right)-\left(a^2+2ab+b^2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\left(a^2+b^2\right)-\left(a+b\right)^2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a^2+b^2-1\right)=0\)

Đến đây làm thế nào tiếp thì tui chịu.

Nếu \(a+b=0\) thì thay vào (1), ta được a=1;b=-1 hoặc ngược lại. Nhưng thay nghiệm vào phương trình đầu thì không thỏa mãn.

Nếu \(a^2+b^2=1\) thì phương trình chỉ đúng với \(a\ge0;b\ge0\) hoặc \(a\le0;b\le0\).

Bình luận (0)
 Khách vãng lai đã xóa

Các câu hỏi tương tự
Nguyễn Thế Hiếu
Xem chi tiết
Mai Tiến Đỗ
Xem chi tiết
Nguyễn Khánh Toàn
Xem chi tiết
Gia An Ho
Xem chi tiết
Tường Nguyễn Thế
Xem chi tiết
Minecraftboy01
Xem chi tiết
mẹ bạn hóa trị II
Xem chi tiết
mẹ bạn hóa trị II
Xem chi tiết
Nguyễn Thị Yến Nga
Xem chi tiết