a) Cho tam giác ABC có O là giao của ba đường trung tuyến. Gọi P, Q, R là trung điểm của OA, OB, OC. Chứng minh tam giác PQR đồng dạng với tam giác ABC, tìm tỷ số đồng dạng? b) Câu hỏi tương tự với O là giao điểm của ba đường cao( xét trường hợp tam giác ABC có 3 góc nhọn). c) Khi O là điểm bất kì trong tam giác ABC, hỏi PQR có đồng dạng với ABC không? Theo tỷ số nào? d) Xét trường hợp O nằm ngoài tam giác ABC? e) O nằm trên tam giác ABC?
a.
Xét \(\Delta OAB\), có PQ là đường trung bình nên:
\(PQ=\frac{1}{2}AB\Rightarrow\frac{PQ}{AB}=\frac{1}{2}\left(1\right)\)
Xét \(\Delta OAC\), có PR là đường trung bình nên:
\(PR=\frac{1}{2}AC\Rightarrow\frac{PR}{AC}=\frac{1}{2}\left(2\right)\)
Xét \(\Delta OBC\), có QR là đường trung bình nên:
\(QR=\frac{1}{2}BC\Rightarrow\frac{QR}{BC}=\frac{1}{2}\left(3\right)\)
Từ (1),(2),(3)\(\Rightarrow\frac{PQ}{AB}=\frac{PR}{AC}=\frac{QR}{BC}\left(=\frac{1}{2}\right)\)
\(\Rightarrow\Delta PQR\sim\Delta ABC\) với tỉ số đồng dạng là \(\frac{1}{2}\)
