Cho đường tròn (O,R) đường kính AB vuông góc với dây cung MN tại điểm H (H nằm giữa Ovà B) .Trên tia đối của MN lấy điểm C sao cho đoạn thẳng AC cắt O tại K khác A . Hai dây MN và BK cắt nhau tại E
a, tính góc AKE
b, C/M : BE.BK = BN^2
c, giả sử KE=KC. C/M : KM^2 +KN^2 = 4R^2
(Kẻ hình giùm mình luôn nha )
a, Xét \(\Delta AKB\) có: \(\widehat{AKB}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (chắn cung AB)
=> \(\widehat{AKB}=90^o\) hay \(\widehat{AKE}=90^o\)
b, Ta có: \(AB\perp MN\) mà AB là đường kính
=> EM = EN (liên hệ giữa đường kính và dây cung)
Dễ chứng minh được \(\Delta BMH=\Delta BNH\left(c.c.c\right)\)
=> BM = BN (2 cạnh tương ứng) => \(\stackrel\frown{BM}=\stackrel\frown{BN}\)
Xét \(\Delta BEN\) và \(\Delta BNK\) có:
\(\widehat{B}\) chung
\(\widehat{BNE}=\widehat{BKN}\) (2 góc nội tiếp cùng chắn 2 cung bằng nhau)
=> \(\Delta BEN\sim\Delta BNK\left(g.g\right)\)
=> \(\frac{BE}{BN}=\frac{BN}{BK}\Rightarrow BE.BK=BN^2\left(đpcm\right)\)
c, KE = KC (gt) => \(\Delta KEC\) vuông cân tại K => \(\widehat{KCE}=45^o\)
Xét tứ giác KHBC có: \(\widehat{H}=\widehat{K}=90^o\)
Mà 2 góc này cùng nhìn cạnh BC
=> KHBC là tứ giác nội tiếp
=> \(\widehat{KBH}=\widehat{KCH}=45^o\) (góc nội tiếp cùng chắn cung KH)
Vì OB = OK (=R) => \(\Delta OBK\) cân tại O
=> \(\widehat{BOK}=180^o-2\widehat{OBK}=90^o\)
=> \(OK\perp OB\) mà \(MN\perp OB\left(gt\right)\)
=> MN // OK
Kẻ thêm đường kính KP của đường kính (O) => KP // MN ; KP = 2R
Xét (O) có: KP và MN là 2 dây cung song song
=> \(\stackrel\frown{KN}=\stackrel\frown{MP}\Rightarrow KN=MP\)
Xét \(\Delta KMP\) có: \(\widehat{KMP}=90^o\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
=> \(\Delta KMP\) vuông tại M
=> \(KM^2+MP^2=KP^2\)
=> \(KM^2+KN^2=KP^2=\left(2R\right)^2=4R^2\) (đpcm)
