Question

LÀM PHIỀN MỌI NGƯỜI GIẢI GIÚP MÌNH BÀI NÀY VỚI!!!!!!!

Cho x,y,z là các số dương thay đổi và thỏa mãn điều kiện:

\(xy^2z^2+x^2z+y=3z^2\)

hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

\(P=\frac{z^4}{1+z^4\left(x^4+y^4\right)}\)

Answer 1

Chia 2 vế PT cho z^2 được :

\(xy^2+\frac{x^2}{z}+\frac{y}{z^2}=3\)

ta có: \(\left(x^2y^2+y^2\right)+\left(x^2+\frac{x^2}{z^2}\right)+\left(\frac{y^2}{z^2}+\frac{1}{z^2}\right)\ge2\left(xy^2+\frac{x^2}{z}+\frac{y}{z^2}\right)=6\)

Đặt \(a=\frac{1}{z^2},b=y^2,c=x^2\).Ta có

P=\(\frac{1}{\frac{1}{z^4}+x^4+y^4}=\frac{1}{a^2+b^2+c^2}\)

Có: \(3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+bc+ca+a+b+c\right)-3=2\left(\frac{x^2}{z^2}+x^2y^2+\frac{y^2}{z^2}+\frac{1}{z^2}+x^2+y^2\right)\ge9\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge3\)

\(\Rightarrow P\le\frac{1}{3}\Leftrightarrow x=y=z=1\)