Cho đường tròn ( O; R ) . Từ điểm A nằm ngoài đường tròn kẻ hai tiếp tuyến Ab , AC với đường tròn ( B , C là hai tiếp điểm ) . Từ B kẻ đường thẳng song song với AC cắt (O) tại D ( D khác B ) , đường thảng AD cắt (O ) tại E ( E khác D )
a ) Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp
b ) Chứng minh \(AE.AD=AB^2\)
c ) Chứng minh \(\widehat{CEA}=\widehat{BEC}\)
d ) Gỉa sử \(OA=3R\) . Tính khoảng cách giũa hai đường thẳng AC và BD theo R
a ) Ta có : AB , AC là tiếp tuyến của (O)
\(\Rightarrow AB\perp OB,AC\perp OC\)
\(\Rightarrow\widehat{ABO}+\widehat{ACO}=90^0+90^0=180^0\Rightarrow ABOC\) nội tiếp
b ) Vì AB là tiếp tuyến của (O)
\(\Rightarrow\widehat{ABE}=\widehat{ADB}\Rightarrow\Delta ABE\sim\Delta ADB\left(g.g\right)\)
\(\Rightarrow\frac{AB}{AD}=\frac{AE}{AB}\Rightarrow AB^2=AE.AD\)
c ) Ta có : AC là tiếp tuyến của (O) \(\Rightarrow\widehat{ACE}=\widehat{EBC}\)
Mà BD // AC \(\Rightarrow\widehat{ECB}=\widehat{EDB}=\widehat{ADB}=\widehat{EAC}\)
\(\Rightarrow\Delta EAC\sim\Delta ECB\left(g.g\right)\Rightarrow\widehat{CEA}=\widehat{CEB}\)
d ) Gọi \(CO\cap BD=F\)
Vì BD // AC , \(OC\perp AC\Rightarrow CF\perp BD\)
\(\Rightarrow d\left(AC,BD\right)=CF\)
Vì AO = 3R , \(OB=R\Rightarrow AB=\sqrt{OA^2-OB^2}=2\sqrt{2}R\) \(\Rightarrow\frac{1}{2}BC.AO=AB.OC\left(=2S_{ABOC}\right)\) \(\Rightarrow BC=\frac{4\sqrt{2}R}{3}\) Ta có : \(\widehat{BAO}=\widehat{BCO}\Rightarrow\Delta ABO\sim\Delta CFB\left(g.g\right)\) \(\Rightarrow\frac{AB}{CF}=\frac{AO}{CB}=\frac{BO}{BF}\) \(\Rightarrow\frac{2\sqrt{2}R}{CF}=\frac{3R}{\frac{4\sqrt{2}R}{3}}\) \(\Rightarrow CF=\frac{16R}{9}\)
