Violympic toán 9

Phác Chí Mẫn

Cho a, b, c dương thỏa abc = 1. Chứng minh: \(\frac{1}{a^3\left(7b+3c\right)}+\frac{1}{b^3\left(7c+3a\right)}+\frac{1}{c^3\left(7a+3b\right)}\ge\frac{1}{10}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)

Hoàng Thị Ánh Phương
18 tháng 3 2020 lúc 21:27

Áp dụng BĐT Svacxo ta có :

\(\frac{1}{a^3\left(7b+3c\right)}+\frac{1}{b^3\left(7c+3a\right)}+\frac{1}{c^3\left(7a+3b\right)}=\frac{\frac{1}{a^2}}{7ab+7ac}+\frac{\frac{1}{b^2}}{7bc+3ab}+\frac{\frac{1}{c^2}}{7ac+3bc}\)

\(\ge\frac{\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2}{10\left(ab+bc+ca\right)}=\frac{1}{10}.\frac{\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)^2}{ab+bc+ca}=\frac{1}{10}.\left(ab+bc+ca\right)\)

\(=\frac{1}{10}.\frac{ab+bc+ca}{abc}=\frac{1}{10}.\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\left(đpcm\right)\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)

Bình luận (0)
 Khách vãng lai đã xóa

Các câu hỏi tương tự
Lê Đình Quân
Xem chi tiết
bt ko
Xem chi tiết
Lê Đình Quân
Xem chi tiết
fghj
Xem chi tiết
Khánh Ngọc
Xem chi tiết
Hoàng Quốc Tuấn
Xem chi tiết
Hoàng Quốc Tuấn
Xem chi tiết
Nguyễn Anh Kim Hân
Xem chi tiết
Phan Tiến Nhật
Xem chi tiết