Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) . Các tia phân giác của góc B và góc C cắt nhau tại I và cắt đường tròn (O) lần lượt tại D và E . Dây DE cắt các cạnh AB và AC lần lượt tại M và N . Chứng minh rằng
a) Tam giác AMN là tam giác cân
b) Các tam giác EAI và DAI là những tam giác cân
c) Tứ giác AMIN là hình thoi
a ) Vì BD , CE là phân giác \(\Delta BAC\Rightarrow D,E\) nằm chính giữa cung AC,AB
\(\Rightarrow\widehat{AMN}=\widehat{MEA}+\widehat{EAM}=\widehat{DEA}+\widehat{BAM}=\widehat{DEC}+\widehat{ACE}\)
\(=\widehat{NEC}+\widehat{ECN}=\widehat{ANM}\)
\(\Rightarrow\Delta AMN\) cân tại A
b ) Ta có :
\(\widehat{AED}=\widehat{DEC},\widehat{ADE}=\widehat{EDB}\)
\(\Rightarrow\widehat{AED}=\widehat{IED},\widehat{ADE}=\widehat{IDE}\)
\(\Rightarrow\Delta ADE=\Delta IDE\left(g.c.g\right)\Rightarrow AE=EI,AD=DI\)
\(\Rightarrow\Delta EAI,DAI\) cân
c ) Ta có :
\(\widehat{EDB}=\widehat{ACE}\Rightarrow INDC\) nội tiếp
\(\Rightarrow\widehat{INC}=\widehat{IDC}=\widehat{BDC}=\widehat{BAC}\Rightarrow\) IN // AB
Tương tự \(\Rightarrow\) IM // AC \(\Rightarrow ANIM\)là hình bình hành
Mà AM = AN \(\Rightarrow AMIN\)là hình thoi
