Trước tiên ta chứng minh \(HG=2GO\).
Gọi giao điểm của AM và OH là G'; M là trung điểm của BC.
Xét tứ giác BKCH có CH // BK ( cùng vuông góc với AB ) và BH // CK ( cùng vuông góc với AC ) do đó BKCH là hình bình hành.
=> HK giao BC tại trung điểm mỗi đường, mà M là trung điểm của BC nên M đồng thời là trung điểm của HK.
Xét tam giác AHK có O là trung điểm của AK, M là trung điểm của HK => OM là đường trung bình của tam giác AHK
=> \(\frac{OM}{AH}=\frac{1}{2}\)
Vì OM // AH nên theo định lý Ta-lét ta có:
\(\frac{AG'}{G'M}=\frac{HG'}{G'O}=\frac{AH}{OM}=2\) hay \(\frac{AG'}{G'M}=2\)
Đồng thời vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên \(\frac{AG}{GM}=2\)
Do đó \(\frac{AG'}{G'M}=\frac{AG}{GM}\) \(\Rightarrow G\equiv G'\)
Do đó: \(\frac{HG}{GO}=2\) hay \(HG=2GO\) (1)
Kẻ đường cao \(h_a\) từ A đến OH
Ta có \(S_{AHG}=\frac{1}{2}\cdot h_a\cdot HG\) và \(S_{AGO}=\frac{1}{2}\cdot h_a\cdot GO\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(S_{AHG}=2S_{AGO}\) ( đpcm )
