Bài 5: Phép cộng các phân thức đại số

Trang Lê

Cho n thuộc N; n>1. CMR \(\frac{1}{5}+\frac{1}{13}+...+\frac{1}{n^2\left(n+1\right)^2}< \frac{1}{2}\)

Giúp mk vs mk cần gấp

thanks nhiều

Trần Quốc Khanh
10 tháng 3 2020 lúc 15:17

Ta nhận thấy : \(\frac{1}{n^2\left(n+1\right)^2}< \frac{2n+1}{n^2\left(n+1\right)^2}=\frac{1}{n^2}-\frac{1}{\left(n+1\right)^2}\forall n>1,n\in N\)

Sửa đề nha : 1/4+1/36+... mới làm đc

\(\frac{1}{4}< 1-\frac{1}{4}\)

\(\frac{1}{36}< \frac{1}{4}-\frac{1}{9}\)

...Cộng hết lại đc

\(VT< 1-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{9}+...+\frac{1}{n^2}-\frac{1}{\left(n+1\right)^2}\)\(\).Ta có N>1 nên

Hình như ko đc...Xem lại đề

Bình luận (0)
 Khách vãng lai đã xóa
Bùi Lan Anh
10 tháng 3 2020 lúc 15:19

Chứng minh: \(\frac{1}{n^2+\left(n+1\right)^2}< \frac{1}{2n\left(n+1\right)}\)

Ta có: \(\frac{1}{n^2+\left(n+1\right)^2}=\frac{1}{n^2+n^2+2n+1}=\frac{1}{2n^2+2n+1}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{2n^2+2n+1}< \frac{1}{2n^2+2n}=\frac{1}{2n\left(n+1\right)}\)

Thay vào bài toán:

\(\frac{1}{5}+\frac{1}{13}+...+\frac{1}{n^2+\left(n+1\right)^2}=\frac{1}{1^2+\left(1+1\right)^2}+\frac{1}{2^2+\left(2+1\right)^2}+...+\frac{1}{n^2+\left(n+1\right)^2}< \frac{1}{2.1.2}+\frac{1}{2.2.3}+...+\frac{1}{2n+\left(n+1\right)}\)

\(=\frac{1}{2}.\left[\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{n.\left(n+1\right)}\right]\)

\(=\frac{1}{2}.\left(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{n}-\frac{1}{n-1}\right)\)

\(=\frac{1}{2}-\frac{1}{2\left(n+1\right)}< \frac{1}{2}\left(đpcm\right)\)

Bình luận (0)
 Khách vãng lai đã xóa

Các câu hỏi tương tự
bùi thị thùy linh
Xem chi tiết
Phạm Minh Hoàng
Xem chi tiết
Phan Bảo Chi
Xem chi tiết
Nguyễn Hà Vi
Xem chi tiết
Hoangnhuy Hồ
Xem chi tiết
Duyên Thảo
Xem chi tiết
Thảo Phan
Xem chi tiết
Công chúa shizuka
Xem chi tiết
Trần minh thư
Xem chi tiết