Violympic toán 9

Đỗ Ánh

Cho a b c>0 TM a+b+c=3

Tìm min (a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)

Akai Haruma
7 tháng 3 2020 lúc 15:00

Lời giải:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

$(a^2+1)(b^2+1)=(a^2+1)(1+b^2)\geq (a+b)^2$

$\Rightarrow a^2b^2+a^2+b^2+1\geq (a+b)^2$
$\Rightarrow a^2b^2+2a^2+2b^2+4\geq (a+b)^2+a^2+b^2+3$

Mà $a^2+b^2\geq \frac{(a+b)^2}{2}$ (theo AM-GM)

$\Rightarrow a^2b^2+2a^2+2b^2+4\geq (a+b)^2+\frac{(a+b)^2}{2}+3$

Hay $(a^2+2)(b^2+2)\geq \frac{3}{2}[(a+b)^2+2]$

$\Rightarrow (a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)\geq \frac{3}{2}[(a+b)^2+2](c^2+2)(*)$

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

$[(a+b)^2+2](c^2+2)\geq [\sqrt{2}(a+b)+\sqrt{2}c]^2=2(a+b+c)^2=18(**)$

Từ $(*); (**)\Rightarrow (a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)\geq \frac{3}{2}.18=27$

Vậy GTNN của biểu thức đã cho là $27$ khi $a=b=c=1$

Bình luận (0)
 Khách vãng lai đã xóa
 Mashiro Shiina
7 tháng 3 2020 lúc 15:02

@Akai Haruma em có cách khác ạ

Violympic toán 9

Bình luận (0)
 Khách vãng lai đã xóa

Các câu hỏi tương tự
Thư Nguyễn Nguyễn
Xem chi tiết
Vũ Đình Thái
Xem chi tiết
Bùi Đức Anh
Xem chi tiết
Bùi Đức Anh
Xem chi tiết
Bùi Đức Anh
Xem chi tiết
 Mashiro Shiina
Xem chi tiết
Tống Cao Sơn
Xem chi tiết
Nguyen Thi Bich Huong
Xem chi tiết
nguyen thi thanh huyen
Xem chi tiết