Lời giải:
$P=\frac{1}{x^3+y^3}+\frac{1}{xy}=\frac{1}{(x+y)^3-3xy(x+y)}+\frac{1}{xy}=\frac{1}{1-3xy}+\frac{1}{xy}$
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(P=\frac{1}{1-3xy}+\frac{1}{xy}=\frac{1}{1-3xy}+\frac{3}{3xy}\geq \frac{(1+\sqrt{3})^2}{1-3xy+3xy}=(1+\sqrt{3})^2\)
Vậy GTNN của $P$ là $(1+\sqrt{3})^2$
Cho x, y, z dương thỏa \(x+y+z=\frac{3}{2}\). Tìm min: \(P=\frac{\sqrt{x^2+xy+y^2}}{1+4xy}+\frac{\sqrt{z^2+zy+y^2}}{1+4zy}+\frac{\sqrt{x^2+xz+z^2}}{1+4xz}\)
Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn x+y+z=1
\(\text{Tìm Min }\text{của}\text{ }P=\frac{x+yz}{y+z}+\frac{y+zx}{z+x}+\frac{z+xy}{x+y}\)
Cho 2 số dương x, y thỏa mãn điều kiện x + y = 1
Tìm Min A = \(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{xy}\)
cho các số thực dương x,y,x thỏa mãn xy ≥ 1 và z ≥1
Chứng minh bất đẳng thức \(\frac{x}{y+1}+\frac{y}{x+1}+\frac{z^3+2}{3\left(xy+1\right)}\ge\frac{3}{2}\)
Cho các số dương x,y,z thỏa mãn: xy + yz + zx = 3xyz. Chứng minh rằng
\(\frac{x^3}{x^2+z}+\frac{y^3}{y^2+x}+\frac{z^3}{z^2+y}\ge\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)
cho x , y , z là 3 số thực dương thỏa mãn : x + y + z = 10 .
Tìm min \(Q=\frac{x+1}{1+y^2}+\frac{y+1}{1+z^2}+\frac{z+1}{1+x^2}\)
1) Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn x+y+z=1
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=\(\frac{x^2\left(y+z\right)}{yz}+\frac{y^2\left(z+x\right)}{zx}+\frac{z^2\left(x+y\right)}{xy}\)
2)Cho x>y và x+y≤1 .Tìm Min của A=\(\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{xy}\)
Cho x,y là các số dương thỏa mãn: x+y=1.Tìm GTNN của biểu thức \(P=\frac{1}{x^3+y^3}+\frac{1}{xy}\)
Cho 3 số thực x,y,z dương thỏa mãn xy + yz + zx + 2xyz = 1. Chứng minh
\(\frac{x^2y}{x+1}+\frac{y^2z}{y+1}+\frac{z^2x}{z+1}\ge2xyz\)
