\(\Sigma\left(\frac{a^3}{a^2+b^2}\right)=\Sigma\left(\frac{a\left(a^2+b^2\right)-ab^2}{a^2+b^2}\right)=\Sigma\left(a-\frac{ab^2}{a^2+b^2}\right)\ge\Sigma\left(a-\frac{ab^2}{2ab}\right)=\Sigma\left(a-\frac{b}{2}\right)\)
\(=a+b+c-\left(\frac{a}{2}+\frac{b}{2}+\frac{c}{2}\right)=\frac{a+b+c}{2}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c\)
Cho 3 số thực dương abc
CMR \(\frac{a^2+b^2}{a+b}+\frac{b^2+c^2}{b+c}=\frac{a^2+c^2}{a+c}\le\frac{3\left(a^2+b^2+c^2\right)}{a+b+c}\)
Cho a,b,c là các số thực dương . CM :
\(\frac{a^4}{a^3+b^3}+\frac{b^4}{b^3+c^3}+\frac{c^4}{c^3+a^3}\)≥\(\frac{a+b+c}{2}\)
Cho a,b,c là các số thực dương
CM \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{2}{a+b}+\frac{2}{b+c}+\frac{2}{c+a}\)
Cho các số thực dương a+b+c\(\le3\) Tìm GTNN của biểu thức:\(M=\frac{a^2+6a+3}{a^2+a}+\frac{b^2+6b+3}{b^2+b}+\frac{c^2+6c+3}{c^2+c}\)
Cho ba số thực dương a,b,c thỏa ab+bc+ca=3abc. Tìm GTNN của biểu thức A=\(\frac{a^3}{c+a^2}+\frac{b^3}{a+b^2}+\frac{c^3}{b+c^2}\)
1 . Cho các số thực a, b, c dương thỏa mãn
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\le3\)
Tính giá trị lớn nhất của biể thức: \(P=\frac{1}{\sqrt{a^2-ab+3b^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{b^2-bc+3c^2+1}}+\frac{1}{\sqrt{c^2-ac+3a^2+1}}\)
2 .
Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn: \(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}\le1\)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(P=\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ac+a^2}\)
Cho các số dương a,b,c.CMR :\(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ac+a^2}\ge\frac{a+b+c}{3}\)
Cho a, b, c dương thỏa a + b + c = 3. Cm: \(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\ge a^2+b^2+c^2\)
Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn a+b+c=3. Chứng minh \(\frac{1}{\left(a+b\right)^2}+\frac{1}{\left(b+c\right)^2}+\frac{1}{\left(c+a\right)^2}\ge\frac{3}{4}\)
