Bài 1:Đường tròn tâm O và một dây AB của đường tròn đó. Các tiếp tuyến vẽ từ A và B của đường tròn cắt nhau tại C. D là một điểm trên đường tròn có đường kính OC (D khác A và B). CD cắt cung AB của đường tròn (O) tại E (E nằm giữa C và D). Chứng minh:
a) Góc BED = góc DAE
b) DE2 = DA.DB
Bài 2:Cho (O) dây AB vuông góc dây CD M là trung điểm BC. Chứng minh rằng OM=1/2AD
Lời giải:
a) Vì $CA,CB$ là tiếp tuyến của $(O)$ nên $CA\perp OA, CB\perp OB$
$\Rightarrow \widehat{CAO}+\widehat{CBO}=90^0+90^0=180^0$
$\Rightarrow CABO$ là tứ giác nội tiếp đường tròn có tâm là trung điểm của $CO$ hay $CABO$ nội tiếp đường tròn đường kính $CO$
$\Rightarrow C,A,B,D$ nằm trên cùng 1 đường tròn
$\Rightarrow CABD$ là tứ giác nội tiếp
$\Rightarrow \widehat{BAD}=\widehat{BCD}=\widehat{BCE}(1)$
Mặt khác: $\widehat{BAE}=\widehat{EBC}(2)$ (tính chất góc nội tiếp chắn 1 cung thì bằng góc tạo bởi tiếp tuyến và cung đó)
Lấy $(1)+(2)\Rightarrow \widehat{DAE}=\widehat{BCE}+\widehat{EBC}=180^0-\widehat{BEC}=\widehat{BED}$ (đpcm)
b) Vì $CADB$ nội tiếp nên:
$\widehat{EDA}=\widehat{CDA}=\widehat{ABC}$
$\widehat{BDE}=\widehat{BDC}=\widehat{BAC}$
Mà $\widehat{ABC}=\widehat{BAC}$ do $CA=CB$ theo tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau
$\Rightarrow \widehat{EDA}=\widehat{BDE}$
Xét tam giác $EDA$ và $BDE$ có:
$\widehat{EDA}=\widehat{BDE}$ (cmt)
$\widehat{DAE}=\widehat{DEB}$ (phần a)
$\Rightarrow \triangle EDA\sim \triangle BDE$ (g.g)
$\Rightarrow \frac{ED}{DA}=\frac{BD}{DE}$
$\Rightarrow DE^2=DA.DB$ (đpcm)
Bài 2:
Vì $M$ là trung điểm $BC$ nên $OM\perp BC$
Áp dụng định lý Pitago:
$OM^2=OC^2-CM^2=R^2-(\frac{BC}{2})^2$
$\Rightarrow 4OM^2=4R^2-BC^2(*)$
Mặt khác:
Kẻ đường kính $AK$ của $(O)$
Ta có:
$\widehat{ADK}=90^0$ và $\widehat{B_2}=\widehat{ABK}=90^0$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
$\Rightarrow \widehat{KBC}+\widehat{BCD}=\widehat{B_2}+\widehat{B_1}+\widehat{C_1}=90^0+90^0=180^0$
$\Rightarrow \widehat{KBC}$ và $\widehat{BCD}$ là 2 góc bù nhau. 2 góc này lại ở vị trí trong cùng phía nên $BK\parallel CD$
Trong đường tròn $(O)$ có 2 dây cung $BK\parallel CD$ nên $BC=DK$
Áp dụng định lý Pitago cho tam giác $AKD$ vuông tại $D$:
$AD^2=AK^2-DK^2=(2R)^2-BC^2=4R^2-BC^2(**)$
Từ $(*); (**)\Rightarrow 4OM^2=AD^2$
$\Rightarrow OM=\frac{AD}{2}$ (đpcm)
Hình vẽ 2:
