Question

Cho 3 số thực dương \(a,b,c\) thỏa mãn \(\frac{a}{b+c}=\frac{b}{c+a}=\frac{c}{a+b}\)

Chứng minh rằng: \(\left(\frac{a+b}{c}\right)^3+\left(\frac{b+c}{a}\right)^3+\left(\frac{c+a}{b}\right)^3=24\)

Answer 1

Lời giải:

Vi $a,b,c>0\Rightarrow a+b+c\neq 0$

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau:

\(\frac{a}{b+c}=\frac{b}{c+a}=\frac{c}{a+b}=\frac{a+b+c}{b+c+c+a+a+b}=\frac{a+b+c}{2(a+b+c)}=\frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow \frac{a+b}{c}=\frac{b+c}{a}=\frac{c+a}{b}=2\)

\(\Rightarrow \left(\frac{a+b}{c}\right)^3+\left(\frac{b+c}{a}\right)^3+\left(\frac{c+a}{b}\right)^3=2^3+2^3+2^3=24\) (đpcm)