Bài 5. ÔN TẬP CUỐI NĂM

Nguyễn Thùy Chi

cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=1

CMR: \(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\ge3\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

Lê Anh Duy
9 tháng 2 2020 lúc 19:41

chỉ cần thuộc các bđt cơ bản là được.

Áp dụng bđt Bunyakovsky dạng phân thức, vì a,b,c dương

\(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c}=a+b+c=1\)

Áp dụng bđt cô si

\(a^2+b^2+c^2\le3\sqrt[3]{a^2\cdot b^2\cdot c^2}\)

\(a^2\cdot b^2\cdot c^2\le\frac{\left(a+b+c\right)^3}{3}=\frac{1}{3}\)

nên \(a^2+b^2+c^2\le\) 1

Dấu bằng xảy ra khi a=b=c = 1/3

Bình luận (0)
 Khách vãng lai đã xóa
Nguyễn Việt Lâm
9 tháng 2 2020 lúc 20:02

\(VT=\frac{a^4}{a^2b}+\frac{b^4}{b^2c}+\frac{c^4}{c^2a}\ge\frac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{a^2b+b^2c+c^2a}\)

Ta chỉ cần chứng minh \(a^2+b^2+c^2\ge3\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge3\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)\)

\(\Leftrightarrow a^3+ab^2+b^3+bc^2+a^2c+c^3\ge2a^2b+2b^2c+2ac^2\)

BĐT này hiển nhiên đúng do \(a^3+ab^2\ge2a^2b\) ....

Bình luận (0)
 Khách vãng lai đã xóa
Lê Anh Duy
9 tháng 2 2020 lúc 20:11

Ai chả có lúc nhầm lẫn :D

Bình luận (0)
 Khách vãng lai đã xóa

Các câu hỏi tương tự
Nguyễn Thùy Chi
Xem chi tiết
Nguyễn Thùy Chi
Xem chi tiết
Cathy Trang
Xem chi tiết
Cao Thi Thuy Duong
Xem chi tiết
Hoàng Hồng Nhung
Xem chi tiết
Tuyết Phạm
Xem chi tiết
Nguyễn Thùy Chi
Xem chi tiết
Cathy Trang
Xem chi tiết
Nguyễn Thùy Chi
Xem chi tiết