cho tam giác ABC vuông cân tại A , M là trung điểm của BC . Lấy điểm D bất kì thuộc đoạn BM . Gọi H và I theo thứ tự là hình chiếu của B và C xuống đường thẳng AD .Đường thằng AM cắt CI tại N . chứng minh :
a)ΔACI = ΔBHA và BH2+CI2có giá trị không đổi .
b) đường thẳng DN vuông góc với AC
c)IM là tia phân giác của góc HIC
Ta có:BH=AI (chứng minh câu a)
AD+BH=IC+AI=AB=AC
=>BH2+CI2 có giá trị không đổi
c. Ta có: CI vuông góc với AD =>CI là đường cao của tg ACD
AM vuông góc với DC =>AM là đường cao của tg ACD
Mà 2 đường cao CI và AM cắt nhau tại N
=>DN là đường cao thứ 3 của tg ACD
Vậy DN vuông góc với AC
d. AM vuông góc với BM
AI vuông góc với BH
=>góc MBH=góc MAI
Xét tg BHM và tg AIM
Ta có: BH=AI (chứng minh câu a)
Góc MBH=góc MAI(cmt)
BM=AM
Nên tg BHM=tg AIM(g.c.g)
=>HM=IM(1)
Góc BMH=góc AMI(2)
Từ (1) và (2) ta có:
Tg IMH vuông cân tại M
Vậy IM là tia phân giác của góc HIC
Hình vẽ đây nhé:
Chúc bạn học tốt!
