câu hỏi hay tặng 1 GP cho câu trả lời đúng . mong các bạn ủng hộ .
đề : cho bất kỳ các điểm A;B;C;D trong mặt phẳng chứng minh rằng :
\(\overline{AB}.\overline{CD}+\overline{BC}.\overline{DA}\ge\overline{AC}.\overline{BD}\)
mới đó mà lẫn rồi ...----------------................................................(ptol...)
mình sẽ giải bài này luôn nhé ! bài này là kiến thức lớp 10 nhưng mình thầy hầu hết các bạn cứ sữ dụng toán lớp dưới để làm . mà cx tốt lớp nhỏ nhưng các em không ớn gì toán lớp cao =))
chứng minh :
cho a;b;c;0 là các số phức tương ứng với A;B;C;D trong mặc phẳng phức (ở đây ta đặc điểm D cố định so với mặc phẳng phức thoi nên suy cho cùng tính tự do của điểm D cũng không bị mất đi)
khi đó : \(\overline{AB}.\overline{CD}+\overline{BC}.\overline{DA}\ge\overline{AC}.\overline{BD}\)
\(\Leftrightarrow\left|a-b\right|.\left|c\right|+\left|b-c\right|.\left|a\right|\ge\left|a-c\right|.\left|b\right|\) ...........................(*)
ta có : \(\left(a-b\right)c+\left(b-c\right)a=\left(a-c\right)b\)
\(\Leftrightarrow\left|\left(a-b\right)c+\left(b-c\right)a\right|=\left|\left(a-c\right)b\right|\)
áp dụng bất đẳng thức tam giác (1 dạng khác của BĐT mincopxki)
ta có \(\left|\left(a-b\right)c\right|+\left|\left(b-c\right)a\right|\ge\left|\left(a-b\right)c+\left(b-c\right)a\right|=\left|\left(a-c\right)b\right|\)
\(\Leftrightarrow\left|a-b\right|.\left|c\right|+\left|b-c\right|.\left|a\right|\ge\left|a-c\right|.\left|b\right|\) ..............(*) điều (*) được chứng minh ==> ĐPCM
E cho lên rồi anh ạ ! Có gì em tài trợ cho nhé anh !
Một trường hợp là tứ giác nội tiếp -> định lí Ptoleme -> dấu "="
Một trường hợp không là tứ giác nội tiếp -> dấu " > "
Đấy là hướng của t thôi chứ t chưa làm :D, mà t không biết gì về hình học đâu,đoán bừa :D
hừm bất đẳng thức ptolemy
giải : dựng điểm E sao cho tam giác BCD đồng dạng với tam giác BEA .
suy ra \(\frac{BA}{EA}=\frac{BD}{CD}\) hay \(BA\cdot CD=EA\cdot BD\) (*)
ta dễ dàng chứng minh :
\(\Delta EBC\sim\Delta ABD\left(c-g-c\right)\) ( góc EBC = góc DBA và \(\frac{BC}{BD}=\frac{EB}{AB}\left(gt\right)\))
do đó \(\frac{BA}{BD}=\frac{BE}{BC}\) và \(\widehat{EBC}=\widehat{ABD}\)
từ đó \(\frac{EC}{BC}=\frac{AD}{BD}\)
suy ra \(AD\cdot BC=EC\cdot BD\) (**)
cộng (*) và (**) ta có
\(BA\cdot CD+AD\cdot BC=BD\left(EA+EC\right)\) (0)
áp dụng bất đẳng thức tam giác với E , A , C bất kì ta luôn có
\(EA+EC\ge AC\)
thay vào (0) ta được bất đẳng thức cần tìm
\(AB\cdot CD+BC\cdot DA\ge AC\cdot BD\)
DẠNG ĐẠI SỐ \(\overline{AB}\cdot\overline{CD}+\overline{BC}\cdot\overline{DA}\ge\overline{AC}\cdot\overline{BD}\)
Sử dụng tính chất tam giác đồng dạng và bất đẳng thức tam giác.
Dựng điểm sao cho đồng dạng với . Khi đó, theo tính chất của tam giác đồng dạng, ta có
sao cho 
đồng dạng với 
. Khi đó, theo tính chất của tam giác đồng dạng, ta có
Suy ra
Mặt khác, và cũng đồng dạng do có
và 
cũng đồng dạng do cóvà
và 
Từ đó
Suy ra
Cộng (1) và (2) ta suy ra
Áp dụng bất đẳng thức tam giác ta suy ra
. Cho tứ diện ABCD có AB ⊥ CD, AC ⊥ BD. Chứng minh rằng AD ⊥ BC. Vậy, các cạnh đối diện của tứ diện đó vuông góc với nhau. Tứ diện như thế gọi là tứ diện trực tâm.
b. Chứng minh các mệnh đề sau đây là tương đương :
i. ABCD là tứ diện trực tâm.
ii. Chân đường cao của tứ diện hạ từ một đỉnh trùng với trực tâm của mặt đối diện.
iii. AB2+CD2=AC2+BD2=AD2+BC2AB2+CD2=AC2+BD2=AD2+BC2
c. Chứng minh rằng bốn đường cao của tứ diện trực tâm đồng quy tại một điểm. Điểm đó gọi là trực tâm của tứ diện nói trên.
