Đề đúng là \(-\sqrt{xy}\) bạn nhé :v
Giải:
\(\left\{{}\begin{matrix}x+y-\sqrt{xy}=3\left(1\right)\\\sqrt{x+1}+\sqrt{y+1}=4\left(2\right)\end{matrix}\right.\)
Điều kiện: \(\left\{{}\begin{matrix}xy\ge0\\x\ge-1\\y\ge-1\end{matrix}\right.\). Đặt \(t=\sqrt{xy}\ge0\)
Ta có \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow x + y = 3 + t\left( a \right) \)
Bình phương hai vế của (2) ta được:
\(\begin{array}{l} x + y + 2 + 2\sqrt {xy + x + y + 1} = 16\\ \Leftrightarrow 3 + t + 2 + 2\sqrt {{t^2} + t + 4} = 16\\ \Leftrightarrow 2\sqrt {{t^2} + t + 4} = 11 - t\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 0 \le t \le 11\\ 4\left( {{t^2} + t + 4} \right) = {\left( {11 - t} \right)^2} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 0 \le t \le 11\\ 3{t^2} + 26t - 105 = 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow t = 3 \Leftrightarrow xy = 9\left( b \right) \end{array} \)
Từ (a) và (b) ta được hệ \(\left\{{}\begin{matrix}x+y=6\\xy=9\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=3\\y=3\end{matrix}\right.\)
Ngoài ra, có thể đặt S = x + y, P = xy, đưa về hệ theo S và P
Lời giải:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
$4^2=(\sqrt{x+1}+\sqrt{y+1})^2\leq (x+1+y+1)(1+1)$
$\Rightarrow x+y\geq 6$
Mà từ PT $(1)\Rightarrow x+y=3-\sqrt{xy}\leq 3$
Do đó vô lý nên HPT đã cho vô nghiệm.
