a) Xét $\Delta MHA$ và $\Delta MHB$ có:
$HA=HB$
$\widehat{MHA}=\widehat{MHB}=90^o$
$MH:chung$
$\Rightarrow \Delta MHA = \Delta MHB (c.g.c)$
$\Rightarrow \widehat{AMH}= \widehat{BMH}$ (2 góc tương ứng)
$\Rightarrow MH$ là phân giác $\widehat{AMB}$
b) Trên $MB$ lấy điểm $E'$ sao cho $MF=ME'$
Xét $\Delta FMP$ và $\Delta E'MP$ có:
$MF=ME'$
$\widehat{FMP}=\widehat{E'MP}$
$MP:chung$
$\Rightarrow \Delta FMP = \Delta E'MP(c.g.c)$
$\Rightarrow \widehat{FPM}=\widehat{E'PM}(1)$
Gọi giao điểm của $FE'$ với $MH$ là $K$
Chứng minh tương tự: $\Delta PHA = \Delta PHB(c.g.c)$
$\Rightarrow \widehat{APH}=\widehat{BPH}$
Mà $\widehat{APH}=\widehat{EPM}(đđ)$ và $\widehat{BPH}=\widehat{FPM}(đđ)$
$\Rightarrow \widehat{FPM}=\widehat{EPM}(2)$
Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra: $\widehat{EPM}=\widehat{E'PM}$ hay\(E'\equiv E\)
Do đó $MF=ME(3)$
Lại có: $PF=PE'$ ($\Delta FMP =\Delta E'MP$)
Nên $PF=PE(4)$ (\(E'\equiv E\))
Từ $(3)$ và $(4)$ suy ra: $MP$ hay $MH$ là trung trực của đoạn $EF$
Bạn tự vẽ hình nhé!
a)Xét △AHM và △BHM có:
AH=BH (gt)
∠AHM=∠BHM (=900)
HM chung
⇒△AHM = △BHM (cgc)
⇒∠AMH=∠BMH (2 góc tương ứng)
⇒MH là phân giác góc AMB
b)△AHM = △BHM (câu a)
⇒AM=BM (2 cạnh tương ứng) và ∠MAH=∠MBH (2 góc tương ứng)
Chứng minh tương tự, ta có:△AHP = △BHP (cgc)
⇒∠PAH=∠PBH (2 góc tương ứng)
Ta có:∠MAH=∠MBH; ∠PAH=∠PBH
⇒∠MAH-∠PAH=∠MBH-∠PBH
⇒∠MAE=∠MBF
Xét △MAE và △MBF có:
Góc M chung
MA=MB (cmt)
∠MAE=∠MBF (cmt)
⇒△MAE =△MBF (gcg)
⇒ME=MF (2 cạnh tương ứng)
Gọi giao điểm của FE và MH là I.
Xét △MFI và △MEI có:
FM=EM (cmt)
∠FMI=∠EMI (câu a)
MI chung
⇒△MFI =△MEI (cgc)
⇒∠FIM=∠EIM=\(\frac{180^0}{2}=90^0\) và FI=EI
⇒MH là trung trực của EF
c)AM=BM; FM=EM
⇒AM-FM=BM-EM
⇒AF=BE
c) Ta có:
$AF=AM-FM$
$BI=BM-EM$
Mà: \(\left\{{}\begin{matrix}AM=BM\\FM=EM\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow AF=BE\)
