a) Xét ΔBHA vuông tại H và ΔBHE vuông tại H có
HB là cạnh chung
\(\widehat{HBA}=\widehat{HBE}\)(BH là tia phân giác của \(\widehat{ABE}\))
Do đó: ΔBHA=ΔBHE(cạnh góc vuông-góc nhọn kề)
b)Ta có: ΔBHA=ΔBHE(cmt)
⇒BA=BE(hai cạnh tương ứng)
Xét ΔBAD và ΔBED có
BA=BE(cmt)
\(\widehat{ABD}=\widehat{EBD}\)(do BD là tia phân giác của \(\widehat{ABE}\))
BD là cạnh chung
Do đó: ΔBAD=ΔBED(c-g-c)
\(\Rightarrow\widehat{BAD}=\widehat{BED}\)(hai góc tương ứng)
mà \(\widehat{BAD}=90độ\)(do \(\widehat{BAC}=90độ\),D∈AC)
nên \(\widehat{BED}=90độ\)
⇒ED⊥BC(đpcm)
c)Ta có: ΔBAD=ΔBED(cmt)
⇒AD=DE(hai cạnh tương ứng)(1)
Xét ΔDEC có \(\widehat{DEC}=90độ\)(ED⊥BC)
nên ΔDEC vuông tại E
Xét ΔDEC vuông tại E có DC là cạnh huyền(do DC là cạnh đối diện với góc DEC=90 độ)
nên DC là cạnh lớn nhất trong ΔDEC vuông tại E
⇒DC>DE(2)
Từ (1) và (2) suy ra DC>DA
hay AD<DC(đpcm)
d) Xét ΔDAE có DA=DE(cmt)
nên ΔDAE cân tại D(định nghĩa tam giác cân)
⇒\(\widehat{DAE}=\widehat{DEA}\)(hai góc ở đáy của ΔDAE cân tại D)(3)
Ta có: AK⊥BC(gt)
mà DE⊥BC(cmt)
nên AK//DE(định lí 1 về quan hệ giữa vuông góc và song song)
⇒\(\widehat{KAE}=\widehat{AED}\)(hai góc so le trong)(4)
Từ (3) và (4) suy ra
\(\widehat{KAE}=\widehat{EAD}\)
hay \(\widehat{KAE}=\widehat{EAC}\)(do C∈DA)
mà tia AE nẳm giữa hai tia AK,AC
nên AE là tia phân giác của \(\widehat{CAK}\)(đpcm)
a) Xét hai tam giác vuông $\Delta ABH$ và $\Delta EBH$ có:
$BC:chung$
$\widehat{B_1}=\widehat{B_2}$
$\Rightarrow \Delta ABH =\Delta EBH (cgv-gn)$
$\Rightarrow AB = EB$ (2 cạnh tương ứng)
b) Xét $\Delta ABD$ và $\Delta EBD$ có:
$BD: chung$
$\widehat{B_1}=\widehat{B_2}$
$AB = EB (cmt)$
$\Rightarrow \Delta ABD=\Delta EBD (c.g.c)$
$\Rightarrow \widehat{BAD}=\widehat{BED}=90^o$ (2 góc tương ứng)
\(\Rightarrow ED\perp BC\Rightarrow\Delta DEC\) vuông tại $E$
\(\Rightarrow DC>DE\left(1\right)\)
$\Delta ABD=\Delta EBD$ (chứng minh câu b)
$\Rightarrow AD=ED$ (2 cạnh tương ứng) $(2)$
Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra $AD<DC$
d) \(\left. \begin{array}{l} AK \bot BC\left( {gt} \right)\\ DE \bot BC \end{array} \right\} \Rightarrow DE//AK \)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \widehat {{A_1}} = \widehat {{E_1}}\left( {SLT} \right)\left( 3 \right)\\ AD = DE\left( {gt} \right)\\ \Rightarrow \widehat {{A_2}} = \widehat {{E_1}}\left( 4 \right) \end{array} \)
Từ $(3)$ và $(4)$ suy ra \(\widehat{A_1}=\widehat{A_2}\)
Vậy $AE$ là tia phân giác $\widehat{CAK}$
