Question

1. Cho phương trình \(\left(x^2+\text{ax}+1\right)^2+a\left(x^2+\text{ax}+1\right)+1=0\) có nghiệm duy nhất. Chứng minh \(a>2\)

2. Cho a,b,c thỏa mãn \(a+2b+5c=0.Cmr:\) \(\text{ax}^2+bc+c=0\) có nghiệm

3. Giả sử phương trình \(\left(m+3\right)x^2+2\left(m+1\right)x+m=0\) có 2 nghiệm \(x_1,x_2\). Tìm a để \(F=\left(x_1-a\right)\left(x_2-a\right)\) không phụ thuộc vào m

Answer 1

Bài 1:

Khai bút đầu năm lấy may :''>

Đặt $x^2+ax+1=t$ thì ta có hệ \(\left\{\begin{matrix} x^2+ax+(1-t)=0(1)\\ t^2+at+1=0(2)\end{matrix}\right.\)

Trước tiên, pt $(2)$ cần có nghiệm.

Điều này xảy ra khi $\Delta_{(2)}=a^2-4\geq 0\Leftrightarrow a\geq 2$ hoặc $a\leq -2$

Để PT ban đầu có nghiệm duy nhất thì PT $(1)$ phải có nghiệm duy nhất. Điều này xảy ra khi $\Delta_{(1)}=a^2-4(1-t)=0$

$\Leftrightarrow 4(1-t)=a^2$. Mà $a^2\geq 4$ nên $1-t\geq 1\Rightarrow t\leq 0$

------------------

Giờ ta xét:

Nếu $a\leq -2$. Kết hợp với $t\leq 0\Rightarrow at\geq -2t$

$\Rightarrow 0=t^2+at+2\geq t^2-2t+1\Leftrightarrow 0\geq (t-1)^2$.

$\Rightarrow t-1=0\Rightarrow t=1$ (vô lý vì $t\leq 0$)

Do đó $a\geq 2$

Tuy nhiên thay $a=2$ vào hệ ta thấy không thỏa mãn. Do đó $a>2$ (đpcm)

Answer 2

Bài 2:

Nếu $a=0\Rightarrow 2b+5c=0\Rightarow c=\frac{-2}{5}b$

PT trở thành: $bx+c=0$

$\Leftrightarrow bx-\frac{2}{5}b=0$ có nghiệm duy nhất $x=\frac{2}{5}$ nếu $b\neq 0$ hoặc vô số nghiệm nếu $b=0$

Tức là với $a=0$ pt luôn có nghiệm.

Nếu $a\neq 0$. PT đã cho là pt bậc hai ẩn $x$

Xét $\Delta=b^2-4ac=b^2-4(-2b-5c)c=b^2+8bc+20c^2=(b+4c)^2+4c^2\geq 0$ với mọi $b,c$ nên PT đã cho luôn có nghiệm.

Vậy........

Answer 3

Bài 3:

Để pt đã cho có hai nghiệm thì:

\(\left\{\begin{matrix} m+3\neq 0\\ \Delta'=(m+1)^2-m(m+3)>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m\neq -3\\ m^2-m+1>0\end{matrix}\right.\)

$\Leftrightarrow m\neq -3$

Áp dụng định lý Vi-et: \(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=\frac{-2(m+1)}{m+3}\\ x_1x_2=\frac{m}{m+3}\end{matrix}\right.\)

Khi đó:

$F=(x_1-a)(x_2-a)=x_1x_2-a(x_1+x_2)+a^2$

$=\frac{m}{m+3}+\frac{2a(m+1)}{m+3}+a^2$

$=\frac{(2a+1)(m+3)-4a-3}{m+3}+a^2$

$=2a+1-\frac{4a+3}{m+3}+a^2$

Để biểu thức này không phụ thuộc $m$ thì:

$\frac{4a+3}{m+3}=0\Leftrightarrow a=-\frac{3}{4}$