Chương 3: PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Hồ Minh Phi

\(\left\{{}\begin{matrix}x^3-6x^2+13x=y^3+y+10\\\sqrt{2x+y+5}-\sqrt{3-x-y}=x^3-3x^2-10y+6\end{matrix}\right.\)

Nguyễn Thành Trương
22 tháng 1 2020 lúc 8:04

$$\left\{\begin{aligned} &\sqrt{2x+y+5}-\sqrt{3-x-y}=x^3-3x^2-10y+6 &&(1) \\ &x^3-6x^2+13x=y^3+y+10 &&(2)\end{aligned}\right.$$
Lời giải. Điều kiện: $2x+y+5 \ge 0$ và $3-x-y \ge 0.$ Phương trình (2) có thể viết lại thành $$(x^3-6x^2+12x-8)+(x-2)=y^3+y,$$ hay $$(x-2)^3+(x-2)=y^3+y.$$ Phương trình trên có dạng $f(x-2)=f(y)$ với $f(t)=t^3+t.$ Do $f(t)$ là hàm liên tục và tăng nghiêm ngặt trên $\mathbb R$ nên từ đây, ta có $y=x-2.$ Thay vào (1), ta được $$\sqrt{3x+3}-\sqrt{5-2x}=x^3-3x^2-10x+26. \text{ }(3)$$ Lúc này, ta có điều kiện tương ứng cho $x$ là $-1 \le x \le \frac{5}{2}.$ Với điều kiện này, phương trình (3) tương đương với $$ \left(\sqrt{3x+3}-3\right)+\left(1-\sqrt{5-2x}\right)-(x^3-3x^2-10x+24)=0,$$ hay $$\frac{3(x-2)}{\sqrt{3x+3}+3}+\frac{2(x-2)}{\sqrt{5-2x}+1}+(x-2)(4-x)(x+3)=0.$$ Đưa $x-2$ ra làm nhân tử chung, ta được $$(x-2)\left[\frac{3}{\sqrt{3x+3}+3}+\frac{2}{\sqrt{5-2x}+1}+(4-x)(x+3)\right]=0.$$ Do $-1 \le x\le \frac{5}{2}$ nên dễ thấy $$\frac{3}{\sqrt{3x+3}+3}+\frac{2}{\sqrt{5-2x}+1}+(4-x)(x+3)>0.$$ Từ đây, ta suy ra ngay $x=2$ và $y=x-2=0.$ Vậy hệ có nghiệm duy nhất $(x,\,y)=(2,\,0).$

Bình luận (0)
 Khách vãng lai đã xóa

Các câu hỏi tương tự
Đức Mai Văn
Xem chi tiết
Nguyễn Khánh Linh
Xem chi tiết
Nguyễn Khánh Linh
Xem chi tiết
Kimian Hajan Ruventaren
Xem chi tiết
Tiến Nguyễn Minh
Xem chi tiết
Duy Anh Nguyễn
Xem chi tiết
Hồ Minh Phi
Xem chi tiết
Tâm Cao
Xem chi tiết
Đức Mai Văn
Xem chi tiết