Question

Câu 1: Cho cosx \(\ne\) \(\pm\)1. Gọi S= 1+ cos\(^2\)x + cos\(^4\)x+...+ cos\(^{2n}\)+.... Khi đó S có biểu thức thu gọn là gì ?

Câu 2: Tìm : lim ( \(\sqrt[3]{n^3+1}\) - n )

Câu 3: Tìm: lim \(\sqrt[3]{\frac{5-8n}{n+3}}\)

Câu 4: Tìm: lim ( 1 + \(\frac{1}{1.2}\) + \(\frac{1}{2.3}\) + ...+ \(\frac{1}{n\left(n+1\right)}\) )

Câu 5: Tính S= \(\frac{1}{3}\) - \(\frac{1}{9}\)+... + \(\frac{\left(-1\right)^{n+1}}{3^n}\)

Mọi người giúp mình với ạ, mình cảm ơn !

Answer 1

5,

Answer 2

Câu 1:

$S=1+\cos ^2x+\cos ^4x+...+\cos ^{2n}x=1+\cos ^2x+(\cos ^2x)^2+...+(\cos ^2x)^n=\frac{(\cos ^2x-1)(1+\cos ^2x+(\cos ^2x)^2+...+(\cos ^2x)^n}{\cos ^2x-1}$

$=\frac{(\cos ^2x)^{n+1}-1}{\cos ^2x-1}=\frac{\cos ^{2n+2}x-1}{\sin ^2x}$

Answer 3

Câu 2:

\(\lim_{n\to \infty}(\sqrt[3]{n^3+1}-n)=\lim_{n\to \infty}\frac{n^3+1-n^3}{\sqrt[3]{(n^3+1)^2}+\sqrt[3]{n^3+1}.n+n^2}=\lim_{n\to \infty}\frac{1}{\sqrt[3]{(n^3+1)^2}+\sqrt[3]{n^3+1}.n+n^2}\)

$=0$

Answer 4

Câu 3:

\(\lim_{n\to \infty}\sqrt[3]{\frac{5-8n}{n+3}}=\lim_{n\to \infty}\sqrt[3]{\frac{29-8(n+3)}{n+3}}=\lim_{n\to \infty}\sqrt[3]{\frac{29}{n+3}-8}\)

\(=\sqrt[3]{0-8}=-2\)