Question

Cho ΔABC nhọn, đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Vẽ đường tròn tâm O đường kính CH cắt BC tại F. Lấy M trung điểm AB.

a, Chứng minh ΔAEC đồng dạng ΔADB

b, Chứng minh MD là tiếp tuyến của đường tròn tâm O

Answer 1

Lời giải:

a)

Xét tam giác $AEC$ và $ADB$ có:

$\widehat{AEC}=\widehat{ADB}=90^0$

$\widehat{A}$ chung

$\Rightarrow \triangle AEC\sim \triangle ADB$ (g.g)

b) Dễ thấy tứ giác $DO=\frac{HC}{2}

Sử dụng tính chất trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền thì bằng một nửa cạnh huyền, ta có:

Tam giác $ABD$ vuông tại $D$ có trung tuyến $DM$

$\Rightarrow DM=\frac{BA}{2}=BM\Rightarrow BDM$ là tam giác cân tại $M$

$\Rightarrow \widehat{MDB}=\widehat{MBD}=90^0-\widehat{BAD}(1)$

Tam giác $DHC$ vuông tại $D$ có trung tuyến $DO$ nên:

$\Rightarrow DO=\frac{HC}{2}=OH$. Do đó $D$ cũng thuộc đường tròn $(O)$ và $\Rightarrow \triangle DOH$ cân tại $O$

$\Rightarrow \widehat{ODH}=\widehat{OHD}=90^0-\widehat{HCD}=90^0-\widehat{ECA}=\widehat{EAC}=\widehat{BAD}(2)$

Từ $(1);(2)\Rightarrow \widehat{MDB}+\widehat{ODH}=90^0$ hay $\widehat{MDO}=90^0$

$\Rightarrow MD\perp OD$. Mà $D\in (O)$ nên $MD$ là tiếp tuyến $(O)$

Answer 2

Answer 3

Hình vẽ: