Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM cho các số không âm:
$\frac{a^2}{3}+3b^2\geq 2\sqrt{a^2b^2}=2|ab|\geq 2ab$
$\frac{a^2}{3}+3c^2\geq 2\sqrt{a^2c^2}=2|ac|\geq 2ac$
$\frac{a^2}{3}+3d^2\geq 2\sqrt{a^2d^2}=2|ad|\geq 2ad$
Cộng theo vế và thu gọn:
$a^2+3(b^2+c^2+d^2)\geq 2a(b+c+d)$
Ta có đpcm.
Dấu "=" xảy ra khi $a=3b=3c=3d>0$
Chứng minh:
\(a^2+3\left(b^2+c^2+d^2\right)\ge2a\left(b+c+d\right)\forall a,b,c,d\)
Bài 4: Cho các số thực a;b;c;d thỏa a+b+c+d=2. Chứng minh :
\(\dfrac{a}{a^2-a+1}+\dfrac{b}{b^2-b+1}+\dfrac{c}{c^2-c+1}+\dfrac{d}{d^2-d+1}\le\dfrac{8}{3}\)
Cho a,b,c>0 và a+b+c=3.Chứng minh
\(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\le3\)
Chứng minh
\(\dfrac{a}{\sqrt{b^2+c^2+d^2}}+\dfrac{b}{\sqrt{c^2+d^2+a^2}}+\dfrac{c}{\sqrt{d^2+a^2+b^2}}+\dfrac{d}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\ge2\)
Chứng minh :
a, \(\dfrac{a+b+c}{3}\dfrac{>}{ }\sqrt{\dfrac{ab+bc+ca}{3}}\) với a,b,c>0
b,\(\dfrac{a^2+b^2+c^2}{3}\dfrac{>}{ }\left(\dfrac{a+b+c}{3}\right)^2\)
c,\(\dfrac{x^2+2}{\sqrt{x^2+1}}\dfrac{>}{ }2\)
d,\(\dfrac{a^3+b^3}{2}\dfrac{>}{ }\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^3\)
cho a,b,c,d >0 thỏa a+b+c+d=4 chứng minh \(\frac{a}{1+b^2c}+\frac{b}{1+c^2a}+\frac{c}{1+d^2a}+\frac{d}{1+a^2b}\)
1:Cho x;y>0:\(\frac{2}{x}+\frac{3}{y}=6\).Tìm min P=x+y
2:Cho x;y;z>0:x+y+z\(\le\)1.Chứng minh\(\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{y^2+\frac{1}{y^2}}+\sqrt{z^2+\frac{1}{z^2}}\ge\sqrt{82}\)
3:cho a;b;c;d>0.Chứng minh\(\frac{a^2}{b^5}+\frac{b^2}{c^5}+\frac{c^2}{d^5}+\frac{d^2}{a^5}\ge\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}+\frac{1}{d^3}\)
4:Tìm max,min y=x+\(\sqrt{4-x^2}\)
5:Cho \(a\ge1;b\ge1\).Chứng minh \(a\sqrt{b-1}+b\sqrt{a-1}\le ab\)
6:Chứng minh:\(\left(ab+bc+ca\right)^2\ge3\text{a}bc\left(a+b+c\right)\)
Cho a,b,c là số dương thỏa mãn \(a^2+b^2+c^2=3\) . Chứng minh rằng
a/ \(a^2b+b^2c+c^2a\le3\)
b/ \(\dfrac{ab}{3+c^2}+\dfrac{bc}{3+a^2}+\dfrac{ca}{3+b^2}\le\dfrac{3}{4}\)
cho các số thực dương a b c d thỏa \(a^2+b^2+c^2+d^2=4\)
chứng minh \(\left(a+b+c+d-2\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{d}+\frac{1}{2}\right)\ge9\)
