Trước tiên, bạn cần lưu ý lần sau đăng bài thì gõ đúng công thức toán!! Người đọc, người giải có thể nhìn cách đăng bài mà bỏ qua bài của bạn.
Lời giải:
Đặt biểu thức vế trái là $P$
Áp dụng BĐT AM-GM:
$a^2+1\geq 2a\Rightarrow a^2+2b+3\geq 2a+2b+2$
$\Rightarrow \frac{a}{a^2+2b+3}\leq \frac{a}{2(a+b+1)}$
Hoàn toàn tương tự với các phân thức còn lại, suy ra:
$P\leq \frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+b+1}+\frac{b}{b+c+1}+\frac{c}{c+a+1}\right)(*)$
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(\frac{a}{a+b+1}+\frac{b}{b+c+1}+\frac{c}{c+a+1}=\sum \frac{a}{a+b+1}=\sum (1-\frac{b+1}{a+b+1})=3-\sum \frac{(b+1)^2}{(b+1)(a+b+1)}\)
\(\leq 3-\frac{(b+1+c+1+a+1)^2}{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ac+3(a+b+c)+3}=3-\frac{(a+b+c+3)^2}{a^2+b^2+c^2+ab+bc+ac+3(a+b+c)+3}(1)\)
Mà:
\((a+b+c+3)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ac)+9+6(a+b+c)\)
\(=2(a^2+b^2+c^2)+2(ab+bc+ac)+6+6(a+b+c)\) (do $a^2+b^2+c^2=3$)
$=2[a^2+b^2+c^2+ab+bc+ac+3(a+b+c)+3](2)$
Từ $(1);(2)\Rightarrow \sum \frac{a}{a+b+1}\leq 3-2=1(**)$
Từ $(*); (**)\Rightarrow P\leq \frac{1}{2}.1=\frac{1}{2}$ (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$
