Chương III - Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

HUỲNH TÔ ÁI VÂN

cho a, b, c duong thoa man 1/(1+a)+1/(1+b)+1/(1+c)>=2.Cmr abc<=1/8

bach nhac lam
12 tháng 1 2020 lúc 12:53

+ \(\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}\ge2\Rightarrow\frac{1}{1+a}\ge\left(1-\frac{1}{1+b}\right)+\left(1-\frac{1}{1+c}\right)\) \(\Rightarrow\frac{1}{1+a}\ge\frac{b}{1+b}+\frac{c}{1+c}\ge2\sqrt{\frac{bc}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}}\)

Dấu "=" \(\Leftrightarrow b=c\)

+ Tương tự : \(\frac{1}{1+b}\ge2\sqrt{\frac{ca}{\left(1+c\right)\left(1+a\right)}}\) Dấu "=" \(\Leftrightarrow c=a\)

\(\frac{1}{1+c}\ge2\sqrt{\frac{ab}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)}}\) Dấu "=" \(\Leftrightarrow a=b\)

Do đó \(\frac{1}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)}\ge8\sqrt{\frac{a^2b^2c^2}{\left(1+a\right)^2\left(1+b\right)^2\left(1+c\right)^2}}=\frac{8abc}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)}\)

\(\Rightarrow abc\le\frac{1}{8}\) Dấu "=" \(\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{2}\)

Bình luận (0)
 Khách vãng lai đã xóa

Các câu hỏi tương tự
Nguyễn Thị Bích Thuỳ
Xem chi tiết
Nguyễn Thị Bích Thuỳ
Xem chi tiết
Nguyễn Công Thành
Xem chi tiết
HUỲNH TÔ ÁI VÂN
Xem chi tiết
Mạnh Phan
Xem chi tiết
Vũ Tiền Châu
Xem chi tiết
Komorebi
Xem chi tiết
Linh Bùi
Xem chi tiết
Lê Thị Hồ
Xem chi tiết