Bài 4: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác

Nguyển Thủy Tiên

CMR: Trong 1 tam giác tổng độ dài 3 đường trung tuyến lớn hơn 3/4 chu vi và nhỏ hơn chu vi của tam giác đó

Suri Anh
8 tháng 1 2020 lúc 20:43

Bạn tự vẽ hình nha!

Xét tam giác ABC có các đường trung tuyến AM, BD, CE. Đặt BC = a ; AC= c.

Theo bài ra ta có: AM < \(\frac{b+c}{2}\)

CMTT: BD < \(\frac{a+c}{2}\) ; CE < \(\frac{a+b}{2}\)

Suy ra AM+BD+CE < a+b+c

Ta có BD + CE > \(\frac{3}{2}\) a

CMTT ta có: AM + CE > \(\frac{3}{2}\) b

AM + BD > \(\frac{3}{2}\) c

Suy ra 2 (AM+BD+CE) > \(\frac{3}{2}\) ( a+c+c)

Do đó : AM+BD+CE > \(\frac{3}{4}\) ( a+b+c )

Chúc bạn học có hiệu quả!

Bình luận (0)
 Khách vãng lai đã xóa
Vũ Minh Tuấn
8 tháng 1 2020 lúc 22:24

Xét tam giác ABC như hình vẽ, ta cần chứng minh:

\(\frac{3}{4}.\left(AB+AC+BC\right)< AM+BD+CE< AB+AC+BC.\)

*Chứng minh AM + BD + CE < AB + AC + BC

Trên tia đối của tia MA lấy K sao cho MA = MK.

\(AM\) là đường trung tuyến của \(\Delta ABC\left(gt\right)\)

=> M là trung điểm của \(BC.\)

=> \(BM=CM.\)

Xét 2 tam giác BMK và CMA có:

MK = MA (do cách vẽ)

Góc BMK = góc AMC (vì 2 góc đối đỉnh)

BM = CM (cmt)

=> Tam giác BMK = Tam giác CMA ( c - g - c )

=> BK = AC (2 cạnh tương ứng).

Xét tam giác ABK có:

AK < AB + BK (theo bất đẳng thức trong tam giác).

Vì MA = MK (do cách vẽ).

=> M là trung điểm của AK.

=> \(AM=\frac{1}{2}AK\) (tính chất trung điểm).

Hay AK = 2AM

Mà BK = AC (cmt).

=> 2AM < AB + AC (1).

Tương tự, ta có: 2BD < AB + BC (2)

2CE < AC + BC (3)

Cộng từng vế của (1), (2) và (3) ta được:

2AM + 2BD + 2CE < AB + AC + AB + BC + AC + BC.

=> 2(AM + BD + CE) < 2AB + 2AC + 2BC

=> 2(AM + BD + CE) < 2(AB + AC + BC)

=> AM + BD + CE < AB + AC + BC (4).

*Chứng minh 3/4(AB + AC + BC) < AM + BD + CE

Xét tam giác AGB có:

AG + GB > AB (theo bất đẳng thức trong tam giác).

Mà AG = 2/3AM ; BG = 2/3BD (do G là trọng tâm tam giác ABC)

=> 2/3(AM + BD) > AB

Tương tự, ta có:

2/3(AM + CE) > AC; 2/3(BD + CE) > BC

=> 2/3.2(AM + BD + CE) > AB + AC + BC

<=> 4/3(AM + BD + CE) > AB + AC + BC

=> AM + BD + CE > 3/4 (AB + AC + BC) (5).

Từ (4) và (5) => \(\frac{3}{4}.\left(AB+AC+BC\right)< AM+BD+CE< AB+AC+BC\left(đpcm\right).\)

Vậy trong 1 tam giác tổng độ dài 3 đường trung tuyến lớn hơn 3/4 chu vi và nhỏ hơn chu vi của tam giác đó.

Chúc bạn học tốt!

Bình luận (0)
 Khách vãng lai đã xóa

Các câu hỏi tương tự
Nguyễn Phong
Xem chi tiết
Tuyển Nguyễn Đình
Xem chi tiết
Mai Linh
Xem chi tiết
Mèo__miunication
Xem chi tiết
Hoàng Linh
Xem chi tiết
anthao
Xem chi tiết
Harry Nguyễn
Xem chi tiết
Thanh Ho4ang
Xem chi tiết
Sách Giáo Khoa
Xem chi tiết