Question

cho hệ pt: \(\left\{{}\begin{matrix}2y-x=m+1\\2x-y=m-2\end{matrix}\right.\)

1) Giải hệ pt (1) khi m=1

2) Tìm giá trị của m đê hệ pt (1) có nghiệm (x;y) sao cho biểu thức P= \(^{x^2}\)+\(^{y^2}\)đạt giá trị nhỏ nhất

Answer 1

2)

\(\left\{{}\begin{matrix}2y-x=m+1\\2x-y=m-2\end{matrix}\right.\left(1\right)\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2y-x=m+1\\4x-2y=2m-4\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3x=3m-3\\2y-x=m+1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=m-1\\2y-m+1=m+1\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=m-1\\2y=2m\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=m-1\\y=m\end{matrix}\right.\)

\(P=x^2+y^2=\left(m-1\right)^2+m^2\)

\(=2m^2-2m+1\\=2\left(m^2-m+\frac{1}{4}\right)-\frac{1}{2}+1\\ =2\left(m-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{1}{2}\ge\frac{1}{2}\forall m\in R\)

Vậy \(P_{min}=\frac{1}{2}\) dấu ''='' xảy ra \(\Leftrightarrow m=\frac{1}{2}\)