Question

Cho x>0,y>0,z>0 và x+y+z=\(\frac{3}{4}\)

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(\sqrt[3]{x+3y}+\sqrt[3]{y+3z}+\sqrt[3]{z+3x}\)

Answer 1

\(VT=\sqrt[3]{1.1.\left(x+3y\right)}+\sqrt[3]{1.1.\left(y+3z\right)}+\sqrt[3]{1.1.\left(z+3x\right)}\)

\(VT\le\frac{1}{3}\left(1+1+x+3y\right)+\frac{1}{3}\left(1+1+y+3z\right)+\frac{1}{3}\left(1+1+z+3x\right)\)

\(VT\le\frac{1}{3}\left(6+4\left(x+y+z\right)\right)=3\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)

Answer 2

\(A^3\le\left(x+3y+y+3z+z+3x\right)9=36\left(x+y+z\right)=27\Leftrightarrow A\le3\)