a) Vì E là điểm đối xứng với M qua \(D\left(gt\right)\)
=> D là trung điểm của \(EM\) (1).
Ta có: D là trung điểm của \(AB\left(gt\right)\) (2).
Từ (1) và (2) => 2 đường chéo \(EM\) và \(AB\) cắt nhau tại trung điểm \(D\) của mỗi đường.
=> Tứ giác \(AEBM\) là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hình bình hành).
Xét \(\Delta ABC\) vuông tại A có:
\(AM\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền \(BC\left(gt\right)\).
=> \(AM=\frac{1}{2}BC\) (tính chất tam giác vuông) (3).
=> \(M\) là trung điểm của \(BC.\)
=> \(BM=\frac{1}{2}BC\) (tính chất trung điểm) (4).
Từ (3) và (4) => \(AM=BM.\)
Xét hình bình hành \(AEBM\) có:
\(AM=BM\left(cmt\right)\)
=> Hình bình hành \(AEBM\) là hình thoi (dấu hiệu nhận biết hình thoi).
b) Theo câu a) ta có hình bình hành \(AEBM\) là hình thoi.
=> \(AB\perp EM\) (tính chất hình thoi).
Mà \(AB\perp AC\) (vì \(\Delta ABC\) vuông tại A).
=> \(EM\) // \(AC\) (từ vuông góc đến song song).
Xét \(\Delta ABC\) có:
D là trung điểm của \(AB\left(gt\right)\)
M --------------------- \(BC\left(cmt\right)\)
=> \(DM\) là đường trung bình của \(\Delta ABC.\)
=> \(DM=\frac{1}{2}AC\) (tính chất đường trung bình của tam giác).
Vì D là trung điểm của \(EM\left(cmt\right)\)
=> \(DM=\frac{1}{2}EM\) (tính chất trung điểm).
Mà \(DM=\frac{1}{2}AC\left(cmt\right)\)
=> \(\frac{1}{2}EM=\frac{1}{2}AC\)
=> \(EM=AC.\)
Xét tứ giác \(AEMC\) có:
\(EM\) // \(AC\left(cmt\right)\)
\(EM=AC\left(cmt\right)\)
=> Tứ giác \(AEMC\) là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hình bình hành).
=> 2 đường chéo \(AM\) và \(EC\) cắt nhau tại trung điểm I của mỗi đường (tính chất hình bình hành).
Mà I là trung điểm của \(AM\left(gt\right)\)
=> I là trung điểm của \(EC.\)
=> \(E,I,C\) thẳng hàng (đpcm).
c) Ta có: \(AEBM\) là hình thoi (cmt).
Để hình thoi \(AEBM\) là hình vuông.
\(\Rightarrow AB=EM.\)
Mà \(EM=AC\left(cmt\right)\)
=> \(AB=AC.\)
=> \(\Delta ABC\) cân tại A.
Mà \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\left(gt\right)\)
=> \(\Delta ABC\) vuông cân tại A.
Vậy \(\Delta ABC\) vuông cân tại A thì hình thoi \(AEBM\) là hình vuông.
Chúc bạn học tốt!
