Lời giải:
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(P=\frac{a^2}{ab+ac}+\frac{b^2}{ba+bc}+\frac{c^2}{ca+cb}\geq \frac{(a+b+c)^2}{ab+ac+bc+ba+ca+cb}=\frac{(a+b+c)^2}{2(ab+bc+ac)}\)
Theo hệ quả quen thuộc của BĐT AM-GM:
$(a+b+c)^2\geq 3(ab+bc+ac)$
Do đó:
$P\geq \frac{3(ab+bc+ac)}{2(ab+bc+ac)}=\frac{3}{2}$
Vậy $P_{\min}=\frac{3}{2}$ khi $a=b=c$
Cho 3 số thực dương a, b, c biết a+b+c=1
Tìm Min P=\(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{a+c}+\frac{c^2}{a+b}\)
Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn \(4\left(a^3+b^3\right)+c^3=2\left(a+b+c\right)\left(ac+bc-2\right)\)
Tìm giá trị lớn nhất của \(P=\frac{2a^2}{3a^2+b^2+2ac\left(c+2\right)}+\frac{b+c}{a+b+c+2}-\frac{\left(a+b\right)^2+c^2}{16}\)
Cho 3 số thực a,b,c thỏa mãn
\(\frac{a}{2015}=\frac{b}{2016}=\frac{c}{2017}\)
Chứng minh rằng : 4(a-b)(b-c) = (c-a)2
cho a,b,c là các số thực không âm , sao cho (a+b)c > 0 . Tìm GTNN của biểu thức P = \(\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{a+c}}+\frac{c}{a+b}\)
cho bốn số thực a,b,c và d thuộc đoạn \(\left[\frac{1}{2};\frac{2}{3}\right]\)
tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(^{T=25\left(\frac{c+d}{a=b}\right)^2+16\left(\frac{a+c}{a+d}\right)^2^{ }}\)
Tìm các số nguyên dương a, b sao cho \(\frac{2a+b}{a+2b+1};\frac{a+2b}{2a+b-2}\) đều là các số nguyên
Cho ba số a, b, c thõa mãn a+b+c=2018 và \(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}=\frac{2017}{2018}\).
Tính giá trị của A = \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\)
cho a,b,c>0
Cm: \(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{2\sqrt[3]{abc}}\ge\frac{\left(a+b+c+\sqrt[3]{abc}\right)^2}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)
câu 1 :Cmr a)\(\frac{a^2+b^2}{2}\ge\left(\frac{a+b}{2}\right)^2\)
b) \(\frac{a^3+b^3+c^3}{3}\ge\left(\frac{a+b+c}{3}\right)^3\)
câu 2 : cho a+b=1 .Cm \(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}\ge\frac{4}{3}\)
câu 3: cho a+b+c=1và a,b,c>0.CMR \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge9\)
câu 4 Tim max của : ab+2(a+b) ...biết a2+b2=1
