Vì x,y,z > 0 nên :
\(x+y< x+y+z\Rightarrow\frac{x}{x+y}>\frac{x}{x+y+z}\left(1\right)\)
\(y+z< x+y+z\Rightarrow\frac{y}{y+z}>\frac{y}{x+y+z}\left(2\right)\)
\(x+z< z+y+z\Rightarrow\frac{z}{x+z}>\frac{z}{x+y+z}\left(3\right)\)
Từ \(\left(1\right);\left(2\right)\) và \(\left(3\right)\) , ta cộng các vế bất đẳng thức cùng chiều được :
\(\frac{x}{x+y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{z+x}>\frac{x}{x+y+z}+\frac{y}{x+y+z}+\frac{z}{x+y+z}\)
\(\Leftrightarrow\frac{x}{x+y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{z+x}>\frac{x+y+z}{x+y+z}\)
\(\Leftrightarrow\frac{x}{x+y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{z+x}>1\)
Vậy \(\frac{x}{x+y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{z+x}>1\left(ĐPCM\right)\)
