Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). Gọi E là trung điểm của BC. Từ E lần lượt kẻ ED vuông góc AC tại D, EF vuông góc với AB tại F.
a) Chứng minh tứ giác ADEF là hình chữ nhật.
b) Gọi K là điểm đối xứng của E qua F. Chứng minh tứ giác AEBK là hình thoi.
c) Qua D vẽ đường thẳng vuông góc với BC cắt AB tại M. Đường thẳng vuông góc với AC tại C cắt MD tại I. Chứng minh tứ giác MCIA là hình bình hành.
d) Chứng minh BD vuông góc với AI.
a) Xét tứ giác ADEF có
\(\widehat{A}=90độ\left(gt\right)\)
\(\widehat{ADE}=90độ\)(do DE⊥AC)
\(\widehat{EFA}=90độ\)(do EF⊥AB)
Do đó: ADEF là hình chữ nhật(dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)
b)
Xét ΔCBA có
E là trung điểm của BC(gt)
EF//CA(do EF//AD,C∈DA)
Do đó: F là trung điểm của AB(định lí 1 về đường trung bình của tam giác)
Xét tứ giác AEBF có
F là trung điểm của đường chéo AB(cmt)
F là trung điểm của đường chéo EK(do E và K đối xứng nhau qua F)
Do đó: AEBF là hình bình hành(dấu hiệu nhận biết hình bình hành)
mà EK⊥AB(do EF⊥AB,K∈EF)
nên AEBF là hình thoi(dấu hiệu nhận biết hình thoi)
