Violympic toán 9

Thảo Phương

Giai hệ phương trình \(\left\{{}\begin{matrix}\frac{2x^2}{1+x^2}=y\\\frac{2y^2}{1+y^2}=x\\\frac{2z^2}{1+z^2}=z\end{matrix}\right.\)

Akai Haruma
2 tháng 12 2019 lúc 18:40

Lời giải:

Dễ thấy vế trái của mỗi PT trong hệ đã cho đều dương nên $y,x,z>0$

Áp dụng BĐT AM-GM cho các số dương:

$x^2+1\geq 2x\Rightarrow y=\frac{2x^2}{x^2+1}\leq \frac{2x^2}{2x}$ hay $y\leq x(1)$

Hoàn toàn tương tự:

$z=\frac{2y^2}{y^2+1}\leq y(2)$

$x=\frac{2z^2}{z^2+1}\leq z(3)$

Từ $(1);(2);(3)\Rightarrow x=y=z$

Dấu "=" xảy ra khi \(\left\{\begin{matrix} x^2=y^2=z^2=1\\ x,y,z>0\end{matrix}\right.\) hay $x=y=z=1$

Bình luận (0)
 Khách vãng lai đã xóa

Các câu hỏi tương tự
bach nhac lam
Xem chi tiết
Nguyễn Thị Thu Hằng
Xem chi tiết
Kiều Ngọc Tú Anh
Xem chi tiết
bach nhac lam
Xem chi tiết
poppy Trang
Xem chi tiết
Vân Trần Thị
Xem chi tiết
Hàn Thiên Băng
Xem chi tiết
Nguyễn Thị Thu Hằng
Xem chi tiết
Phạm Minh Quang
Xem chi tiết