Gọi M là trung điểm của \(BD.\)
=> \(BM=DM.\)
Mà \(BM+DM+CD=BC.\)
=> \(BM=DM=CD.\)
Vẽ \(MN\perp AD.\)
Xét 2 \(\Delta\) vuông \(CFD\) và \(MND\) có:
\(\widehat{CFD}=\widehat{MND}=90^0\)
\(CD=MD\left(cmt\right)\)
\(\widehat{CDF}=\widehat{MDN}\) (vì 2 góc đối đỉnh)
=> \(\Delta CFD=\Delta MND\) (cạnh huyền - góc nhọn).
=> \(FD=ND\) (2 cạnh tương ứng) (1).
Ta có: \(\Delta BED\) vuông tại \(E\left(gt\right)\)
Có M là trung điểm của \(BD\left(gt\right)\)
=> \(BM=ME=MD.\)
=> \(ME=MD.\)
=> \(\Delta EMD\) cân tại \(M.\)
Có MN là đường cao (vì \(MN\perp AD\)).
=> \(MN\) đồng thời là đường trung tuyến của \(\Delta EMD.\)
=> \(MN\) là đường trung tuyến của \(ED.\)
=> \(EN=ND\) (2).
Từ (1) và (2) => \(DF=ND=EN.\)
Từ (2) => \(N\) là trung điểm của \(DE.\)
=> \(ND=EN=\frac{1}{2}DE\) (tính chất trung điểm).
Mà \(DF=ND=EN\left(cmt\right)\)
=> \(DF=\frac{1}{2}DE\left(đpcm\right).\)
Chúc bạn học tốt!
