Bài 1: Tìm 3 số nguyên tố p, q, r thỏa mãn \(p^q+q^p=r\).
Bài 2: Tìm m, n tự nhiên thỏa mãn \(2^m+3^n\) là số chính phương.
Bài 3: Tìm nghiệm nguyên của phương trình \(\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{1980}\)
Bài 4: Tìm các số tự nhiên a, b, c phân biệt để biểu thức sau nhận giá trị nguyên :
\(P=\frac{\left(ab-1\right)\left(bc-1\right)\left(ca-1\right)}{abc}\)
Bài 5: Cho \(n\) là số tự nhiên và \(d\) là ước nguyên dương của \(2n^2\). Chứng minh \(n^2+d\) không là số chính phương.
Bài 6: Tìm nghiệm nguyên của phương trình \(\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}}=y\)
Bài 7: Giả sử có các số tự nhiên a, b, c thỏa mãn \(a^2+b^2=c^2\) thì tích \(abc⋮60\)
Bài 8: Tìm các cặp số nguyên dương \(\left(a;b\right)\) thỏa mãn \(a+b^2⋮a^2b-1\)
Bài 9: Tìm tất cả các số tự nhiên a, b nguyên tố cùng nhau thỏa mãn \(\frac{a+b}{a^2-ab+b^2}=\frac{8}{73}\)
Bài 10: Tìm x; y nguyên thỏa mãn \(x\left(x^2+x+1\right)=4^y-1\)
Bài 3:( t chỉ làm bừa thôi)
Có \(\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{1980}=6\sqrt{55}\)
Vì x,y nguyên nên \(\sqrt{x},\sqrt{y}\) đồng dạng với \(6\sqrt{55}\)
Vì \(\sqrt{x},\sqrt{y}\ge0\) nên có các trường hợp sau:
Tại: \(\sqrt{x}=0\) hay x=0 thì \(\sqrt{y}=6\sqrt{55}\) hay y=\(1980\)
\(\sqrt{x}=\sqrt{55}\) hay x=55thì \(\sqrt{y}=5\sqrt{55}\) hay y=1375
\(\sqrt{x}=2\sqrt{55}\) hay x=220 thì \(\sqrt{y}=4\sqrt{55}\) hay y=880
\(\sqrt{x}=3\sqrt{55}\) hay x=495 thì \(\sqrt{y}=3\sqrt{55}\) hay y=495
Tương tự như vậy ta cũng thu được các cặp (x,y) t/m (880,220),(1375,55),(1980,0)
Vậy pt có nghiệm (x,y)\(\in\)\(\left\{\left(0,1980\right),\left(55,1375\right),\left(220,880\right),\left(495,495\right),\left(880,220\right),\left(1375,55\right),\left(1980,0\right)\right\}\)
Bài 3:
Xét phương trình \(\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{1980}\)
Vì x, y nguyên và x, y vai trò như nhau
Giả sử \(x\le y\Rightarrow\sqrt{x}\) và \(\sqrt{y}\) có dạng \(\sqrt{x}=a\sqrt{55},\sqrt{y}=b\sqrt{55}\)
với \(a+b=6\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=1\\b=5\end{matrix}\right.\) hoặc \(\left\{{}\begin{matrix}a=2\\b=4\end{matrix}\right.\) hoặc
\(\left\{{}\begin{matrix}a=3\\b=3\end{matrix}\right.\)\(\left(a,b\in N,a\le b\right)\)
Vậy nghiệm nguyên dương cần tìm là:
\(\left(55,1375\right),\left(220,880\right),\left(495,495\right)\)
Bài 5:
Vì d là ước nguyên dương của \(2n^2.\)
\(\Rightarrow2n^2=kd.\)
\(\Rightarrow d=\frac{2n^2}{k}\forall\) \(k\in N.\)
Giả sử \(n^2+d=a^2\)
\(\Leftrightarrow n^2+\frac{2n^2}{k}=a^2\)
\(\Leftrightarrow n^2k^2+2n^2k=a^2k^2\)
\(\Leftrightarrow n^2.\left(k^2+2k\right)=\left(ak\right)^2\)
\(\Rightarrow\) Vô lí vì \(k^2< k^2+2k< \left(k+1\right)^2\) nên không là số chính phương.
\(\Rightarrow\) Giả sử là sai.
\(\Rightarrow n^2+d\) không phải là số chính phương (đpcm).
Chúc bạn học tốt!
Mọi người ko giải đi mà cứ để mình nghĩ ra thế này :(
Bài 4:
\(P=\frac{\left(ab-1\right)\left(bc-1\right)\left(ca-1\right)}{abc}=\frac{a^2b^2c^2-abc\left(a+b+c\right)+ab+bc+ca-1}{abc}\)
\(=abc-\left(a+b+c\right)+\frac{ab+bc+ca-1}{abc}\)
Để P nhận giá trị nguyên thì \(ab+bc+ca-1⋮abc\)
\(\Rightarrow abc\le ab+bc+ca-1\)
Không mất tính tổng quát, giả sử \(1\le a\le b\le c\)
\(abc\le ab+bc+ca-1< ab+bc+ca< 2ac+bc=c\left(2a+b\right)\)
\(\Leftrightarrow ab< 2a+b\le3b\)
\(\Leftrightarrow a< 3\Rightarrow a\in\left\{1;2\right\}\)
+) Xét \(a=1\) ta có :
\(b+c+bc-1⋮bc\)
\(\Leftrightarrow b+c-1⋮bc\)
\(\Rightarrow bc\le b+c-1\Leftrightarrow\left(b-1\right)\left(c-1\right)\le0\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}b=1\\c=1\end{matrix}\right.\) ( vì \(b,c\) nguyên dương )
Khi đó ta có \(P=0\) ( thỏa )
Ta có \(\left(x;y;z\right)=\left(1;1;1\right)\)
+) Xét \(a=2\)
\(2\left(b+c\right)+bc-1⋮2bc\)
\(\Leftrightarrow4\left(b+c\right)+2bc-2⋮2bc\)
\(\Leftrightarrow4b+4c-2⋮2bc\)
\(\Leftrightarrow2b+2c-1⋮bc\)
\(\Rightarrow bc\le2b+2c-1\Leftrightarrow\left(b-2\right)\left(c-2\right)\le3\)
\(\Leftrightarrow\left(b-2\right)\left(c-2\right)\in\left\{0;1;2;3\right\}\)
TH1: \(\left(b-2\right)\left(c-2\right)=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}b=2\\c=2\end{matrix}\right.\)
Nếu \(c=2\Rightarrow b=2\). Khi đó \(P=\frac{27}{8}\) ( loại )
Nếu \(b=2\Leftrightarrow P=\frac{3\left(2c-1\right)^2}{4c}\notin Z\)
TH2, TH3, TH4 tương tự.
p/s: chợt nhận đây là đề chuyên toán KHTN vòng 2 2008-2009. Đọc qua rồi mà quên mất :(
Bài 2:Vì \(2^m+3^n\)là số chính phương nên giả sử \(2^m+3^n=a^2\)
Nếu m lẻ thì \(2^m\equiv-1\equiv2\left(mod3\right)\)và \(3^n⋮3\)\(\Rightarrow a^2\)chia 3 dư 2(Vô lí vì mọi SCP chia 3 chỉ dư 0 hoặc 1)
Nếu m chẵn , đặt m = 2k(\(k\in N\))
\(\Rightarrow2^{2k}+3^n=a^2\)
\(\Rightarrow3^n=\left(a-2^k\right)\left(a+2^k\right)\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a-2^k=3^i\\a+2^k=3^j\\i+j=n\end{matrix}\right.\left(i,j\in N\right)\)
\(\Rightarrow3^j-3^i=2^{k+1}\)
Do 2^(k+1) không chia hết cho 3 nên phải có i = 0=>j=n
\(\Rightarrow3^n-1=2^{k+1}\).Nếu k=0=>n=1,m=0
Nếu k>0
\(\Rightarrow3^n=2^{k+1}+1\equiv1\left(mod4\right)\Rightarrow n\)chẵn
Với n = 2t
\(\Rightarrow\left(3^t-1\right)\left(3^t+1\right)=2^{k+1}\)
Vì \(\left(3^t-1;3^t+1\right)=2\)và \(3^t+1>3^t-1\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}3^t-1=2\\3^t+1=2^k\end{matrix}\right.\)
=>t=>n=>m
Khá mỏi tay
\(\frac{a+b}{a^2-ab+b^2}=\frac{8}{73}\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=8k\\a^2-ab+b^2=73k\end{matrix}\right.\left(k\text{ }nguyên\text{ }dương\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2+2ab+b^2=64k^2\\4a^2-4ab+4b^2=292k\end{matrix}\right.\Rightarrow292k\ge64k^2\Leftrightarrow k\in\left\{1;2;3;4\right\}\)
\(+,k=1\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=8\\\left(a+b\right)^2-3ab=73\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}ab=-3\\a+b=8\end{matrix}\right.\left(\text{vô lí}\right)\)
tương tự
Câu 8 đây nha cu svtkvtm
Ta có:
\(a+b^2=k\left(a^2b-1\right)\)(k nguyên dương)
\(\Leftrightarrow b^2-ka^2b+a+k=0\)
Để phương trình theo ẩn b có nghiệm nguyên thì:
\(\Delta=k^2a^4-4\left(a+k\right)=x^2\)(với x là số nguyên)
Xét \(a,k\ge2\)
\(\Rightarrow\left(ka^2-2\right)^2< k^2a^4-4\left(a+k\right)< k^2a^4\)
\(\Leftrightarrow k^2a^4-4\left(a+k\right)=\left(ka^2-1\right)^2\)
\(\Leftrightarrow2ka^2-4a-4k-1=0\)
Xét \(a=1,a=2;k>0\)
Xét \(k=1,k=2;a>0\)
Nhẹ nhàng khởi động 10 bài trong 400 bài Phương phải làm trong 2 tuần :) Sắp hết tuần 2 mà mới làm được 167 bài :v Mọi người giúp em với, đầu tháng 1 đi chiến đấu rồi. @@
Bài1(sưu tầm)
Ta thấy \(r>2\Rightarrow r\) lẻ
Tồn tại trong hai số p,q một số lẻ và một số chẵn.Không mất tính tổng quát giả sử p chẵn và q lẻ => $p=2&
Ta có: \(2^q\)+\(q^2\)=r là số nguyên tố
+) Xét q=3 thỏa mãn
+) Xét q không chia hết cho 3=> \(q^2\) chia 3 dư 1
+) Xét q=3k+1(kϵN). Vì q lẻ nên k chẵn
Ta có: \(2^q+q^2=2^{3k+1}+q^2=8^k.2+q^2\)
Vì k
chẵn nên \(8^k\)chia 3 dư 1=>\(8^k\).2+\(q^2\) chia hết cho 3=> r chia hết cho 3=> r=3(vô lý) tương tự với q=3k+2 nhưng lần này k lẻ
Bài 3
https://diendantoanhoc.net/topic/88466-sqrtxsqrtysqrt1980/
Xin giải bài 10:
\(x\left(x^2+x+1\right)=4^y-1\)
\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)=4^y\)
+) Xét \(y=0\)
\(pt\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)=1\)
Mà \(x\in Z\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+1\in Z\\x^2+1\in Z^+\end{matrix}\right.\)
Do đó \(\left\{{}\begin{matrix}x+1=1\\x^2+1=1\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow x=0\)
Ta có \(\left(x;y\right)=\left(0;0\right)\)
+) Xét \(y>0\Leftrightarrow4^y\) chẵn
Do đó \(\left[{}\begin{matrix}x+1⋮2\\x^2+1⋮2\end{matrix}\right.\)Suy ra x lẻ.
Đặt \(x=2k+1\left(k\in Z\right)\)
\(pt\Leftrightarrow\left(2k+1+1\right)\left(4k^2+4k+1+1\right)=4^y\)
\(\Leftrightarrow\left(2k+2\right)\left(4k^2+4k+2\right)=4^y\)
\(\Leftrightarrow4\left(k+1\right)\left(2k^2+2k+1\right)=4^y\)
\(\Leftrightarrow\left(k+1\right)\left(2k^2+2k+1\right)=4^{y-1}\)
Vì \(2k^2+2k+1\) lẻ nên \(k=0\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=1\end{matrix}\right.\)
Vậy \(\left(x;y\right)\in\left\{\left(0;0\right);\left(1;1\right)\right\}\)
woa!!!mấy thánh 2k6 của cha làm toán số giỏi ghê
mấy cái này chịu:số e chỉ làm đc toán thường hoặc hơi nâng cao còn hình thì thấy dễ hơn mà ai cx bảo khó nhỉ?hình thì ko bt làm câu di chuyển(thường là câu cuối)
Mỗi bài 6 dễ, mấy bài thể loại đại số kia đọc lời giải dài cả km đã mệt rồi đừng nói là giải
- Với \(x=0\Rightarrow y=0\) là 1 nghiệm
- Với \(x>0\)
Đặt \(\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}=a>0\Rightarrow\sqrt{x+a}=y\)
\(\Rightarrow x+a=y^2\Rightarrow a=y^2-x\Rightarrow a\) là số nguyên dương
Đặt \(\sqrt{x+\sqrt{x}}=b\Rightarrow\sqrt{x+b}=a\Rightarrow x+b=a^2\Rightarrow b\) nguyên dương
Đặt \(\sqrt{x}=c\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=c^2\\\sqrt{x+c}=b\Rightarrow x+c=b^2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow c\) nguyên dương
Hơn nữa, do \(\sqrt{x+\sqrt{x}}>\sqrt{x}\Rightarrow b>c\)
\(\left\{{}\begin{matrix}x=c^2\\x=b^2-c\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow c=b^2-c^2=\left(b-c\right)\left(b+c\right)\)
Do \(b>c\Rightarrow b-c\ge1\Rightarrow\left(b-c\right)\left(b+c\right)\ge b+c\)
\(\Rightarrow c\ge b+c\Rightarrow b\le0\) (vô lý)
Vậy pt có đúng 1 nghiệm \(x=y=0\)
câu 6 vô số nghiệm mà ví dụ x=2\(\Rightarrow\)y=216,x=3\(\Rightarrow\)y=316,.......
câu 3 cũng thế nhé
