Người hay giúp bạn khác trả lời bài tập sẽ trở thành học sinh giỏi. Người hay hỏi bài thì không. Còn bạn thì sao?



Bài1(sưu tầm)
Ta thấy \(r>2\Rightarrow r\) lẻ
Tồn tại trong hai số p,q một số lẻ và một số chẵn.Không mất tính tổng quát giả sử p chẵn và q lẻ => $p=2&
Ta có: \(2^q\)+\(q^2\)=r là số nguyên tố
+) Xét q=3 thỏa mãn
+) Xét q không chia hết cho 3=> \(q^2\) chia 3 dư 1
+) Xét q=3k+1(kϵN). Vì q lẻ nên k chẵn
Ta có: \(2^q+q^2=2^{3k+1}+q^2=8^k.2+q^2\)
Vì k
chẵn nên \(8^k\)chia 3 dư 1=>\(8^k\).2+\(q^2\) chia hết cho 3=> r chia hết cho 3=> r=3(vô lý) tương tự với q=3k+2 nhưng lần này k lẻ

Bài 3:( t chỉ làm bừa thôi)
Có \(\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{1980}=6\sqrt{55}\)
Vì x,y nguyên nên \(\sqrt{x},\sqrt{y}\) đồng dạng với \(6\sqrt{55}\)
Vì \(\sqrt{x},\sqrt{y}\ge0\) nên có các trường hợp sau:
Tại: \(\sqrt{x}=0\) hay x=0 thì \(\sqrt{y}=6\sqrt{55}\) hay y=\(1980\)
\(\sqrt{x}=\sqrt{55}\) hay x=55thì \(\sqrt{y}=5\sqrt{55}\) hay y=1375
\(\sqrt{x}=2\sqrt{55}\) hay x=220 thì \(\sqrt{y}=4\sqrt{55}\) hay y=880
\(\sqrt{x}=3\sqrt{55}\) hay x=495 thì \(\sqrt{y}=3\sqrt{55}\) hay y=495
Tương tự như vậy ta cũng thu được các cặp (x,y) t/m (880,220),(1375,55),(1980,0)
Vậy pt có nghiệm (x,y)\(\in\)\(\left\{\left(0,1980\right),\left(55,1375\right),\left(220,880\right),\left(495,495\right),\left(880,220\right),\left(1375,55\right),\left(1980,0\right)\right\}\)

Bài 3:
Xét phương trình \(\sqrt{x}+\sqrt{y}=\sqrt{1980}\)
Vì x, y nguyên và x, y vai trò như nhau
Giả sử \(x\le y\Rightarrow\sqrt{x}\) và \(\sqrt{y}\) có dạng \(\sqrt{x}=a\sqrt{55},\sqrt{y}=b\sqrt{55}\)
với \(a+b=6\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=1\\b=5\end{matrix}\right.\) hoặc \(\left\{{}\begin{matrix}a=2\\b=4\end{matrix}\right.\) hoặc
\(\left\{{}\begin{matrix}a=3\\b=3\end{matrix}\right.\)\(\left(a,b\in N,a\le b\right)\)
Vậy nghiệm nguyên dương cần tìm là:
\(\left(55,1375\right),\left(220,880\right),\left(495,495\right)\)

Xin giải bài 10:
\(x\left(x^2+x+1\right)=4^y-1\)
\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)=4^y\)
+) Xét \(y=0\)
\(pt\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)=1\)
Mà \(x\in Z\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+1\in Z\\x^2+1\in Z^+\end{matrix}\right.\)
Do đó \(\left\{{}\begin{matrix}x+1=1\\x^2+1=1\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow x=0\)
Ta có \(\left(x;y\right)=\left(0;0\right)\)
+) Xét \(y>0\Leftrightarrow4^y\) chẵn
Do đó \(\left[{}\begin{matrix}x+1⋮2\\x^2+1⋮2\end{matrix}\right.\)Suy ra x lẻ.
Đặt \(x=2k+1\left(k\in Z\right)\)
\(pt\Leftrightarrow\left(2k+1+1\right)\left(4k^2+4k+1+1\right)=4^y\)
\(\Leftrightarrow\left(2k+2\right)\left(4k^2+4k+2\right)=4^y\)
\(\Leftrightarrow4\left(k+1\right)\left(2k^2+2k+1\right)=4^y\)
\(\Leftrightarrow\left(k+1\right)\left(2k^2+2k+1\right)=4^{y-1}\)
Vì \(2k^2+2k+1\) lẻ nên \(k=0\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=1\end{matrix}\right.\)
Vậy \(\left(x;y\right)\in\left\{\left(0;0\right);\left(1;1\right)\right\}\)

Bài 5:
Vì d là ước nguyên dương của \(2n^2.\)
\(\Rightarrow2n^2=kd.\)
\(\Rightarrow d=\frac{2n^2}{k}\forall\) \(k\in N.\)
Giả sử \(n^2+d=a^2\)
\(\Leftrightarrow n^2+\frac{2n^2}{k}=a^2\)
\(\Leftrightarrow n^2k^2+2n^2k=a^2k^2\)
\(\Leftrightarrow n^2.\left(k^2+2k\right)=\left(ak\right)^2\)
\(\Rightarrow\) Vô lí vì \(k^2< k^2+2k< \left(k+1\right)^2\) nên không là số chính phương.
\(\Rightarrow\) Giả sử là sai.
\(\Rightarrow n^2+d\) không phải là số chính phương (đpcm).
Chúc bạn học tốt!

Mọi người ko giải đi mà cứ để mình nghĩ ra thế này :(
Bài 4:
\(P=\frac{\left(ab-1\right)\left(bc-1\right)\left(ca-1\right)}{abc}=\frac{a^2b^2c^2-abc\left(a+b+c\right)+ab+bc+ca-1}{abc}\)
\(=abc-\left(a+b+c\right)+\frac{ab+bc+ca-1}{abc}\)
Để P nhận giá trị nguyên thì \(ab+bc+ca-1⋮abc\)
\(\Rightarrow abc\le ab+bc+ca-1\)
Không mất tính tổng quát, giả sử \(1\le a\le b\le c\)
\(abc\le ab+bc+ca-1< ab+bc+ca< 2ac+bc=c\left(2a+b\right)\)
\(\Leftrightarrow ab< 2a+b\le3b\)
\(\Leftrightarrow a< 3\Rightarrow a\in\left\{1;2\right\}\)
+) Xét \(a=1\) ta có :
\(b+c+bc-1⋮bc\)
\(\Leftrightarrow b+c-1⋮bc\)
\(\Rightarrow bc\le b+c-1\Leftrightarrow\left(b-1\right)\left(c-1\right)\le0\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}b=1\\c=1\end{matrix}\right.\) ( vì \(b,c\) nguyên dương )
Khi đó ta có \(P=0\) ( thỏa )
Ta có \(\left(x;y;z\right)=\left(1;1;1\right)\)
+) Xét \(a=2\)
\(2\left(b+c\right)+bc-1⋮2bc\)
\(\Leftrightarrow4\left(b+c\right)+2bc-2⋮2bc\)
\(\Leftrightarrow4b+4c-2⋮2bc\)
\(\Leftrightarrow2b+2c-1⋮bc\)
\(\Rightarrow bc\le2b+2c-1\Leftrightarrow\left(b-2\right)\left(c-2\right)\le3\)
\(\Leftrightarrow\left(b-2\right)\left(c-2\right)\in\left\{0;1;2;3\right\}\)
TH1: \(\left(b-2\right)\left(c-2\right)=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}b=2\\c=2\end{matrix}\right.\)
Nếu \(c=2\Rightarrow b=2\). Khi đó \(P=\frac{27}{8}\) ( loại )
Nếu \(b=2\Leftrightarrow P=\frac{3\left(2c-1\right)^2}{4c}\notin Z\)
TH2, TH3, TH4 tương tự.
p/s: chợt nhận đây là đề chuyên toán KHTN vòng 2 2008-2009. Đọc qua rồi mà quên mất :(

woa!!!mấy thánh 2k6 của cha làm toán số giỏi ghê
mấy cái này chịu:số e chỉ làm đc toán thường hoặc hơi nâng cao còn hình thì thấy dễ hơn mà ai cx bảo khó nhỉ?hình thì ko bt làm câu di chuyển(thường là câu cuối)

Mỗi bài 6 dễ, mấy bài thể loại đại số kia đọc lời giải dài cả km đã mệt rồi đừng nói là giải
- Với \(x=0\Rightarrow y=0\) là 1 nghiệm
- Với \(x>0\)
Đặt \(\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}=a>0\Rightarrow\sqrt{x+a}=y\)
\(\Rightarrow x+a=y^2\Rightarrow a=y^2-x\Rightarrow a\) là số nguyên dương
Đặt \(\sqrt{x+\sqrt{x}}=b\Rightarrow\sqrt{x+b}=a\Rightarrow x+b=a^2\Rightarrow b\) nguyên dương
Đặt \(\sqrt{x}=c\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=c^2\\\sqrt{x+c}=b\Rightarrow x+c=b^2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow c\) nguyên dương
Hơn nữa, do \(\sqrt{x+\sqrt{x}}>\sqrt{x}\Rightarrow b>c\)
\(\left\{{}\begin{matrix}x=c^2\\x=b^2-c\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow c=b^2-c^2=\left(b-c\right)\left(b+c\right)\)
Do \(b>c\Rightarrow b-c\ge1\Rightarrow\left(b-c\right)\left(b+c\right)\ge b+c\)
\(\Rightarrow c\ge b+c\Rightarrow b\le0\) (vô lý)
Vậy pt có đúng 1 nghiệm \(x=y=0\)

Bài 2:Vì \(2^m+3^n\)là số chính phương nên giả sử \(2^m+3^n=a^2\)
Nếu m lẻ thì \(2^m\equiv-1\equiv2\left(mod3\right)\)và \(3^n⋮3\)\(\Rightarrow a^2\)chia 3 dư 2(Vô lí vì mọi SCP chia 3 chỉ dư 0 hoặc 1)
Nếu m chẵn , đặt m = 2k(\(k\in N\))
\(\Rightarrow2^{2k}+3^n=a^2\)
\(\Rightarrow3^n=\left(a-2^k\right)\left(a+2^k\right)\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a-2^k=3^i\\a+2^k=3^j\\i+j=n\end{matrix}\right.\left(i,j\in N\right)\)
\(\Rightarrow3^j-3^i=2^{k+1}\)
Do 2^(k+1) không chia hết cho 3 nên phải có i = 0=>j=n
\(\Rightarrow3^n-1=2^{k+1}\).Nếu k=0=>n=1,m=0
Nếu k>0
\(\Rightarrow3^n=2^{k+1}+1\equiv1\left(mod4\right)\Rightarrow n\)chẵn
Với n = 2t
\(\Rightarrow\left(3^t-1\right)\left(3^t+1\right)=2^{k+1}\)
Vì \(\left(3^t-1;3^t+1\right)=2\)và \(3^t+1>3^t-1\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}3^t-1=2\\3^t+1=2^k\end{matrix}\right.\)
=>t=>n=>m
Khá mỏi tay

\(\frac{a+b}{a^2-ab+b^2}=\frac{8}{73}\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=8k\\a^2-ab+b^2=73k\end{matrix}\right.\left(k\text{ }nguyên\text{ }dương\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a^2+2ab+b^2=64k^2\\4a^2-4ab+4b^2=292k\end{matrix}\right.\Rightarrow292k\ge64k^2\Leftrightarrow k\in\left\{1;2;3;4\right\}\)
\(+,k=1\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a+b=8\\\left(a+b\right)^2-3ab=73\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}ab=-3\\a+b=8\end{matrix}\right.\left(\text{vô lí}\right)\)
tương tự

Câu 8 đây nha cu svtkvtm
Ta có:
\(a+b^2=k\left(a^2b-1\right)\)(k nguyên dương)
\(\Leftrightarrow b^2-ka^2b+a+k=0\)
Để phương trình theo ẩn b có nghiệm nguyên thì:
\(\Delta=k^2a^4-4\left(a+k\right)=x^2\)(với x là số nguyên)
Xét \(a,k\ge2\)
\(\Rightarrow\left(ka^2-2\right)^2< k^2a^4-4\left(a+k\right)< k^2a^4\)
\(\Leftrightarrow k^2a^4-4\left(a+k\right)=\left(ka^2-1\right)^2\)
\(\Leftrightarrow2ka^2-4a-4k-1=0\)
Xét \(a=1,a=2;k>0\)
Xét \(k=1,k=2;a>0\)
Gợi ý cho bạn

Các câu hỏi liên quan khác...
Dưới đây là những câu có bài toán hay do HOC24 lựa chọn.
Bảng xếp hạng môn Toán
Akai Haruma1848GP
Nguyễn Huy Tú1835GP
Nguyễn Huy Thắng1683GP
Nguyễn Thanh Hằng1091GP
Ribi Nkok Ngok1032GP
Mysterious Person907GP
soyeon_Tiểubàng giải903GP
Võ Đông Anh Tuấn806GP
Phương An797GP
Trần Việt Linh767GP
Nhẹ nhàng khởi động 10 bài trong 400 bài Phương phải làm trong 2 tuần :) Sắp hết tuần 2 mà mới làm được 167 bài :v Mọi người giúp em với, đầu tháng 1 đi chiến đấu rồi. @@