Chương 4: BẤT ĐẲNG THỨC, BẤT PHƯƠNG TRÌNH

Nguyễn Minh Chiến

Cho 3 số thực dương x, y, z thỏa mãn \(x^3+y^3+z^3=1\). CMR:

\(\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}+\frac{y^2}{\sqrt{1-y^2}}+\frac{z^2}{\sqrt{1-z^2}}\ge2\)

Võ Hồng Phúc
20 tháng 11 2019 lúc 22:23

Áp dụng BĐT AM - GM:

\(\sqrt{x^2\left(1-x^2\right)}\le\frac{x^2+1-x^2}{2}=\frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}=\frac{x^3}{\sqrt{x^2\left(1-x^2\right)}}\ge2x^3\)

Tương tự ta CM được:

\(\frac{y^2}{\sqrt{1-y^2}}=\frac{y^3}{\sqrt{y^2\left(1-y^2\right)}}\ge2y^3\) ; \(\frac{z^2}{\sqrt{1-z^2}}=\frac{z^3}{\sqrt{z^2\left(1-z^2\right)}}\ge2z^3\)

Cộng vế với vế 3 bất đẳng thức trên, ta được:

\(\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}+\frac{y^2}{\sqrt{1-y^2}}+\frac{z^2}{\sqrt{1-z^2}}\ge2\left(x^3+y^3+z^3\right)=2\)

bạn xem lại đề xem, mình làm thấy dấu ''='' không xảy ra

Bình luận (0)
 Khách vãng lai đã xóa
Nguyễn Việt Lâm
20 tháng 11 2019 lúc 22:23

\(\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}=\frac{2x^3}{2x\sqrt{1-x^2}}\ge\frac{2x^3}{x^2+1-x^2}=2x^3\)

Tương tự: \(\frac{y^2}{\sqrt{1-y^2}}\ge2y^3\) ; \(\frac{z^2}{\sqrt{1-z^2}}\ge2z^3\)

Cộng vế với vế:

\(VT\ge2\left(x^3+y^3+z^3\right)=2\)

Dấu "=" ko xảy ra nên BĐT sai, vế trái lớn hơn vế phải 1 cách tuyệt đối.

BĐT đúng là: \(\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}+\frac{y^2}{\sqrt{1-y^2}}+\frac{z^2}{\sqrt{1-z^2}}>2\)

Bình luận (0)
 Khách vãng lai đã xóa
Nguyễn Minh Chiến
8 tháng 11 2019 lúc 14:13
Bình luận (0)
 Khách vãng lai đã xóa

Các câu hỏi tương tự
dbrby
Xem chi tiết
Kinder
Xem chi tiết
Anh Đỗ Nguyễn Thu
Xem chi tiết
Trần Việt Linh
Xem chi tiết
Easylove
Xem chi tiết
CAO Thị Thùy Linh
Xem chi tiết
Lê Mai Hương
Xem chi tiết
Đạt Trần Tiến
Xem chi tiết
vung nguyen thi
Xem chi tiết