Theo bài ra ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}4x^2+y^2=4\\x^2-3xy+2y^2=M\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4Mx^2+My^2=4M\\4x^2-12xy+8y^2=7M\end{matrix}\right.\)
Từ hệ trên suy ra: \(x^2\left(4M-4\right)+12xy+My^2-8y^2=0\)
Coi phương trình trên là phương trình bậc hai ẩn x
Xét trường hợp y = 0, phương trình trở thành: \(x^2\left(4M-4\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\M=1\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}M=0\left(x=y=0\right)\\M=1\end{matrix}\right.\)
Với y khác 0, chia cả 2 vế cho \(y^2\) và đặt \(t=\frac{x}{y}\) ta được:
\(\left(4M-4\right)t^2-12t+M-8=0\)
Với \(M=1\) thì \(t=-\frac{7}{12}\)
Với M khác 1 thì:
\(\Delta'\) \(=36-\left(4M-4\right)\left(M-8\right)=36-\left(4M^2-36M+32\right)=-4M^2+36M+4\)
Phương trình có nghiệm khi \(\Delta'=-4M^2+36M+4\ge0\)
Vậy \(\frac{9-\sqrt{85}}{2}\le M\le\frac{9+\sqrt{85}}{2}\)
\(Min\) của \(M=\frac{9-\sqrt{85}}{2}\)
\(Max\) của \(M=\frac{9+\sqrt{85}}{2}\)
