Cho ΔABC có G là trọng tâm . Gọi I,J là 2 điểm thỏa mãn \(\overrightarrow{IA}=2\overrightarrow{IB},\overrightarrow{3JA}+2\overrightarrow{JC}=\overrightarrow{0}\) . Tìm M là điểm di động trên AC . Tính tỉ số \(\frac{MC}{MA}\) khi biểu thức \(T=\left|\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|+2\left|\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}\right|\) đạt GTNN
\(\overrightarrow{AB}=\left(\frac{9}{4};-3\right)\Rightarrow AB=\frac{15}{4}\)
\(\overrightarrow{AC}=\left(4;-3\right)\Rightarrow AC=5\)
Gọi AD là đường phân giác trong góc A với D thuộc BC. Gọi toạ độ của điểm D là D(x;y)
\(\overrightarrow{DC}=\left(2-x;-y\right);\overrightarrow{DB}=\left(\frac{1}{4}-x;-y\right)\)
Theo tính chất đường phân giác ta có:
\(\frac{DB}{DC}=\frac{AB}{AC}\)
\(\frac{\overrightarrow{DB}}{\overrightarrow{DC}}=-\frac{AB}{AC}\)
\(\frac{\overrightarrow{DB}}{\overrightarrow{DC}}=-\frac{3}{4}\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{DB}=-\frac{3}{4}\overrightarrow{DC}\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\frac{1}{4}-x=-\frac{3}{4}\left(2-x\right)\\-y=-\frac{3}{4}\left(-y\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow D\left(1;0\right)\)
Gọi BJ là đường phân giác trong góc B với J thược AD. Gọi toạ độ điểm J là J(x;y).
\(\overrightarrow{BA}=\left(-\frac{9}{4};3\right)\Rightarrow AB=\frac{15}{4}\)
\(\overrightarrow{BD}=\left(\frac{3}{4};0\right)\Rightarrow BD=\frac{3}{4}\)
Theo tính chất đường phân giác góc B ta có:
\(\frac{JA}{JD}=\frac{BA}{BD}\)
\(\Rightarrow\)\(\frac{\overrightarrow{JA}}{\overrightarrow{JD}}=-5\)
\(\Rightarrow\overrightarrow{JA}=-5\overrightarrow{JD}\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}-2-x=-5\left(1-x\right)\\3-y=-5\left(-y\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\frac{1}{2}\\y=\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\)
\(J\left(\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right)\)
Vì J là giao điểm của hai đường phân giác trong góc A và góc B nên J là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC
1/ cho tam giác ABC và điểm M thỏa mãn \(2\overrightarrow{BM}\) +\(3\overrightarrow{CM}\)=\(\overrightarrow{0}\). Khẳng định nào sau đây đúng?
a) BM=\(\frac{2}{5}.BC\) b) CM=\(\frac{3}{5}.BC\) c) M nằm ngoài cạnh BC d) M nằm trên cạnh BC
3/ cho hình vuông ABCD. GỌi M,N lần lượt là trung điểm của cạnh BC và CD.Phân tích \(\overrightarrow{AB}\)qua hai vectơ \(\overrightarrow{AM}\)và \(\overrightarrow{BN}\) ta được
a) \(\overrightarrow{AB=}\)\(\frac{4}{5}.\overrightarrow{AM}\)+\(\frac{2}{5}.\overrightarrow{BN}\) b) \(\overrightarrow{AB=}\)\(-\frac{4}{5}.\overrightarrow{AM}\)\(-\frac{2}{5}.\overrightarrow{BN}\) c) \(\overrightarrow{AB=}\)\(\frac{4}{5}.\overrightarrow{AM}\)-\(\frac{2}{5}.\overrightarrow{BN}\) d) \(\overrightarrow{AB=}-\frac{4}{5}.\overrightarrow{AM}+\frac{2}{5}.\overrightarrow{BN}\)
4/cho tam giác ABC cân tại A, AB=a,\(\widehat{ABC}=30^O\).Độ dài của vectơ \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\) là :
a) \(\frac{a\sqrt{3}}{2}\) b) \(\frac{a}{2}\) c) a d) \(a\sqrt{3}\)
5/Cho hình thoi ABCD có cạnh bằng a và \(\widehat{BAD}=120^O\).Độ dài của vectơ \(\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{BA}\)là:
a) \(a\sqrt{3}\) b) 0 c) a d) \(\frac{a\sqrt{3}}{2}\)
8/cho hình chữ nhật ABCD tâm O và AB= a, BC=\(a\sqrt{3}\).Độ dài của vectơ \(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\) là
a) 2a b) 3a c) \(\frac{a}{2}\) d) a
10/cho hình bình hành ABCD tâm O.Khi đó \(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}\)
a) cùng hướng với \(\overrightarrow{AB}\) b) cùng hướng với \(\overrightarrow{AD}\) c) ngược hướng với \(\overrightarrow{AB}\) d) ngược hướng với \(\overrightarrow{AD}\)
11/Cho lục giác đều ABCDEF tâm O
a) \(\overrightarrow{AB}=\frac{1}{2}.\overrightarrow{FC}\) b) \(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{0}\) c) \(\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{0}\) d) \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DE}\)
12/ Cho hình bình hành ABCD tâm O.Gọi \(\overrightarrow{v}=\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}+3\overrightarrow{OC}+4\overrightarrow{OD.}\)Khi đó
a) \(\overrightarrow{v}=\overrightarrow{AD}\) b) \(\overrightarrow{v}=\overrightarrow{AB}\) c) \(\overrightarrow{v}=2\overrightarrow{AB}\) d) \(\overrightarrow{v}=2\overrightarrow{AD}\)
13/Cho 3 diểm phân biệt A,B,C sao cho \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{AC}\) ngược hướng và AB=a, AC=b. Độ dài của vectơ \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\)là
a) a+b b) a-b c)b-a d) \(\left|a-b\right|\)
Bài 1: Cho hai vectơ \(\overrightarrow{a}\), \(\overrightarrow{b}\)có \(\left|\overrightarrow{a}\right|\)= 5 , \(\left|\overrightarrow{b}\right|\)= 12 và \(\left|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right|\) = 13. Tính tích vô hướng \(\overrightarrow{a}.(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\) và suy ra góc giữa hai vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \((\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b})\).
Bài 2: Cho hai vectơ \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) thỏa mãn \(\left|\overrightarrow{a}\right|\) = 3 , \(\left|\overrightarrow{b}\right|\) = 5 và \((\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})\) = 120o
Với giá trị nào của m thì hai vectơ \(\overrightarrow{a}+m\overrightarrow{b}\) và \(\overrightarrow{a}-m\overrightarrow{b}\)vuông góc nhau.
Bài 3: Cho tam giác ABC có AB = 2a , AC = a và A = 120o
a) Tính BC và \(\overrightarrow{BA.}\overrightarrow{BC}\)
b) Gọi N là điểm trên cạnh BC sao cho BN = x. Tính\(\overrightarrow{AN}\) theo \(\overrightarrow{AB}\) và\(\overrightarrow{AC}\) ,x
c) Tìm x để AN\(\perp\) BM
cho 2 vecto đơn vị thỏa mãn |\(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\)|=2 tính ( \(\overrightarrow{3a}-\overrightarrow{4b}\))(\(\overrightarrow{2a}+\overrightarrow{5b}\))
tìm tất cả các giá trị của m sao cho hai parabol \(y=x^2+mx+\left(m+1\right)^2\) và \(y=-x^2-\left(m+2\right)x-2\left(m+1\right)\) cắt nhau tại 2 điểm có hoành độ lần lượt là \(x_1;x_2\) thỏa mãn \(P=\left|x_1x_2-3\left(x_1+x_2\right)\right|\) đạt giá trị lớn nhất.
cho parabol (P): \(y=\dfrac{1}{2}x^2\) và đường thẳng d:\(y=\left(m+1\right)x-m^2-\dfrac{1}{2}\) (m là tham số)
tìm các giá trị của m thì đường thẳng d cắt parabol (P) tại 2 điểm \(A\left(x_1;y_1\right)\), \(B\left(x_2;y_2\right)\) sao cho biểu thức \(T=y_1+y_2-x_1x_2-\left(x_1+x_2\right)\) đạt GTNN
Trong hệ tọa đọ Oxy, cho hai điểm A(5;2), B(9;-6). Tìm tọa độ điểm M thuộc trục hoành sao cho \(\left|MA-MB\right|\) lớn nhất.
cho parabol (P): \(y=x^2-2x+4\) và đường thẳng d: \(y=2mx-m^2\) (m là tham số). tìm các gia strij của m để d cắt (P) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ là \(x_1;x_2\) thỏa mãn \(x_1^2+2\left(m+1\right)x_2=3m^2+16\)
Cho tam giac ABC(góc BAC=90 độ), MA=MD, MB=MC, MK vuông góc với AC, MN vuông góc với AB, E là giao điểm của AM và NK . A) nhỏ Chứng minh tam giác ABC bằng tam giác DCM nếu AB bằng 6 cm thì được bằng bao nhiêu.B) tính góc BDC. C) cmME=1/2NK
