Violympic toán 8

Đậu Thị Tường Vy

Bài 1. Tìm x, y thỏa mãn: x2 - y2 - 2x - 4y + 5 = 0
Bài 2. Cho a, b, c thỏa mãn a( a - b ) + b( b - c ) + c( c - a ) = 0
Tìm GTNN của P = a3 + b3 + c3 - 3abc + 3ab - 3c + 5
Bài 3. Tìm x, y, z thỏa mãn: x2 + 4y2 + z2 = 2x + 12y - 4z - 14
Bài 4. Cho x2 + x - 3 = 0. Tính P = \(x^2+\frac{9}{x^2}\)
Bài 5. Cho x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx và x + y + z = -3
Tính A = x2017 + y2018 + z2019
Bài 6. Cho x, y, z thỏa mãn: x + y + z = x2 + y2 + z2 = x3 + y3 + z3 = 1
Tính P = ( x - 1 )18 + ( y - 1 )9 + ( z - 1 )1997
Bài 7. Cho a, b thỏa mãn 4a2 + 2b2 + 4ab - 4a - 6b + 1 = 0
Tìm GTNN của P = 2a + b
Bài 8. Tìm GTNN của:
a) P = x2 + 3y2 - 2xy + 2x - 4y + 5
b) Q = x4 - x2 + 2x + 1999
Bài 9. Tìm GTLN của x thỏa mãn: x2 + 4y2 - 4y = 15

Akai Haruma
30 tháng 10 2019 lúc 0:56

Bài 1:

\(x^2+y^2-2x-4y+5=0\)

\(\Leftrightarrow (x^2-2x+1)+(y^2-4y+4)=0\)

\(\Leftrightarrow (x-1)^2+(y-2)^2=0\)

Vì $(x-1)^2; (y-2)^2\geq 0$ với mọi $x,y\in\mathbb{R}$ nên để tổng của chúng bằng $0$ thì $(x-1)^2=(y-2)^2=0$

$\Rightarrow x=1; y=2$

Vậy...........

Bình luận (0)
 Khách vãng lai đã xóa
Akai Haruma
30 tháng 10 2019 lúc 1:00

Bài 2:

Ta có:

\(a(a-b)+b(b-c)+c(c-a)=0\)

\(\Leftrightarrow 2a(a-b)+2b(b-c)+2c(c-a)=0\)

\(\Leftrightarrow (a^2-2ab+b^2)+(b^2-2bc+c^2)+(c^2-2ca+a^2)=0\)

\(\Leftrightarrow (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0\)

Lập luận tương tự bài 1, ta suy ra :

\((a-b)^2=(b-c)^2=(c-a)^2=0\Rightarrow a=b=c\)

Khi đó, thay $b=c=a$ ta có:

\(P=a^3+b^3+c^3-3abc+3ab-3c+5\)

\(=3a^3-3a^3+3a^2-3a+5=3a^2-3a+5\)

\(=3(a^2-a+\frac{1}{4})+\frac{17}{4}=3(a-\frac{1}{2})^2+\frac{17}{4}\geq \frac{17}{4}\)

Vậy $P_{\min}=\frac{17}{4}$

Giá trị này đạt được tại $b=c=a=\frac{1}{2}$

Bình luận (0)
 Khách vãng lai đã xóa
Akai Haruma
30 tháng 10 2019 lúc 1:03

Bài 3:

Ta có:

\(x^2+4y^2+z^2=2x+12y-4z-14\)

\(\Leftrightarrow x^2+4y^2+z^2-2x-12y+4z+14=0\)

\(\Leftrightarrow (x^2-2x+1)+(4y^2-12y+9)+(z^2+4z+4)=0\)

\(\Leftrightarrow (x-1)^2+(2y-3)^2+(z+2)^2=0\)

Lập luận tương tự bài 1 ta suy ra:

\((x-1)^2=(2y-3)^2=(z+2)^2=0\)

\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x=1\\ y=\frac{3}{2}\\ z=-2\end{matrix}\right.\)

Vậy........

Bình luận (0)
 Khách vãng lai đã xóa
Akai Haruma
30 tháng 10 2019 lúc 1:06

Bài 4:

Từ $x^2+x-3=0\Rightarrow x^2-3=-x$. Khi đó:

\(P=x^2+\frac{9}{x^2}=x^2+(\frac{3}{x})^2-2x.\frac{3}{x}+2.x.\frac{3}{x}\)

\(=(x-\frac{3}{x})^2+6=\left(\frac{x^2-3}{x}\right)^2+6=\left(\frac{-x}{x}\right)^2+6=(-1)^2+6=7\)

Vậy $P=7$

Bình luận (0)
 Khách vãng lai đã xóa
Akai Haruma
30 tháng 10 2019 lúc 1:08

Bài 5:

Từ \(x^2+y^2+z^2=xy+yz+xz\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz=0\)

\(\Leftrightarrow 2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2xz=0\)

\(\Leftrightarrow (x^2-2xy+y^2)+(y^2-2yz+z^2)+(z^2-2xz+x^2)=0\)

\(\Leftrightarrow (x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2=0\)

\(\Rightarrow (x-y)^2=(y-z)^2=(z-x)^2=0\)

\(\Rightarrow x=y=z\)

Kết hợp với $x+y+z=-3$ suy ra $x=y=z=-1$. Do đó:

\(A=x^{2017}+y^{2018}+z^{2019}=(-1)^{2017}+(-1)^{2018}+(-1)^{2019}\)

\(=(-1)+1+(-1)=-1\)

Vậy.........

Bình luận (0)
 Khách vãng lai đã xóa
Akai Haruma
30 tháng 10 2019 lúc 1:17

Bài 6:

Từ đkđb suy ra \(x^3+y^3+z^3-x^2-y^2-z^2=0\)

\(\Leftrightarrow x^2(x-1)+y^2(y-1)+z^2(z-1)=0(*)\)

Vì $x^2+y^2+z^2=1\Rightarrow x^2,y^2,z^2\leq 1$

$\Rightarrow x,y,z\leq 1$

$\Rightarrow x^2(x-1)\leq 0; y^2(y-1)\leq 0; z^2(z-1)\leq 0$

Kết hợp với $(*)$ suy ra $x^2(x-1)=y^2(y-1)=z^2(z-1)=0$

$\Rightarrow x=0$ hoặc $x=1$; $y=0$ hoặc $y=1$; $z=0$ hoặc $z=1$

Kết hợp với $x+y+z=1$ suy ra $(x,y,z)=(1,0,0)$ và hoán vị

Nếu $x=1; y=z=0$: \(P=-2\)

Nếu $x=y=0; z=1$: $P=0$

Nếu $x=z=0; y=1$: $P=0$

Bình luận (0)
 Khách vãng lai đã xóa
Akai Haruma
30 tháng 10 2019 lúc 1:25

Bài 7:

\(4a^2+2b^2+4ab-4a-6b+1=0\)

\(\Leftrightarrow (4a^2+4ab+b^2)+b^2-4a-6b+1=0\)

\(\Leftrightarrow (2a+b)^2+b^2-2(2a+b)-4b+1=0\)

\(\Leftrightarrow (2a+b)^2-2(2a+b)+1+(b^2-4b)=0\)

\(\Leftrightarrow (2a+b-1)^2=-(b^2-4b)=4-(b^2-4b+4)=4-(b-2)^2\)

\(\Leftrightarrow (P-1)^2=4-(b-2)^2\leq 4\)

\(\Rightarrow -2\leq P-1\)

\(\Rightarrow P\geq -1\)

Vậy GTNN của $P$ là $-1$. Giá trị này đạt tại $b=2; a=\frac{-3}{2}$

Bình luận (0)
 Khách vãng lai đã xóa
Akai Haruma
30 tháng 10 2019 lúc 1:29

Bài 8:
a)

\(P=x^2+3y^2-2xy+2x-4y+5\)

\(=(x^2+y^2-2xy)+2y^2+2x-4y+5\)

\(=(x-y)^2+2y^2+2(x-y)-2y+5\)

\(=(x-y)^2+2(x-y)+1+(2y^2-2y+\frac{1}{2})+\frac{7}{2}\)

\(=(x-y+1)^2+2(y-\frac{1}{2})^2+\frac{7}{2}\geq \frac{7}{2}\)

Vậy $P_{\min}=\frac{7}{2}$ khi \(\left\{\begin{matrix} x-y+1=0\\ y-\frac{1}{2}=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=-\frac{1}{2}\\ y=\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\)

b)

\(Q=x^4-x^2+2x+1999=(x^4-2x^2+1)+(x^2+2x+1)+1997\)

\(=(x^2-1)^2+(x+1)^2+1997\geq 1997\)

Vậy $Q_{\min}=1997$ khi \((x^2-1)^2=(x+1)^2=0\Leftrightarrow x=-1\)

Bình luận (0)
 Khách vãng lai đã xóa
Akai Haruma
30 tháng 10 2019 lúc 1:32

Bài 9:

Ta có:

\(x^2+4y^2-4y=15\)

\(\Leftrightarrow x^2=15-(4y^2-4y)=16-(4y^2-4y+1)\)

\(\Leftrightarrow x^2=16-(2y-1)^2\). Vì $(2y-1)^2\geq 0, \forall y\in\mathbb{R}$

\(\Rightarrow x^2\leq 16\Rightarrow x\leq 4\)

Vây GTLN của $x$ là $4$. Giá trị này đạt tại $(2y-1)^2=0\Leftrightarrow y=\frac{1}{2}$

Bình luận (0)
 Khách vãng lai đã xóa

Các câu hỏi tương tự
Xem chi tiết
Athena
Xem chi tiết
dia fic
Xem chi tiết
Đậu Thị Tường Vy
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
Hà Hoàng Long
Xem chi tiết
Đậu Thị Tường Vy
Xem chi tiết
nguyễn thị thương
Xem chi tiết