Violympic toán 9

Agami Raito

Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn abc = 2 . Chứng minh rằng : \(a^3+b^3+c^3\)\(a\sqrt{b+c}+b\sqrt{a+c}+c\sqrt{a+b}\)

Akai Haruma
27 tháng 10 2019 lúc 0:01

Lời giải:

Xét hiệu: \(a^3+b^3-ab(a+b)=(a-b)^2(a+b)\geq 0, \forall a,b>0\)

\(\Rightarrow a^3+b^3\geq ab(a+b)\)

Áp dụng BĐT AM-GM:

\(a^3+b^3+2c^3\geq ab(a+b)+2c^3\geq 2\sqrt{ab(a+b).2c^3}=2\sqrt{4c^2(a+b)}=4c\sqrt{a+b}\)

Hoàn toàn tương tự:

\(a^3+2b^3+c^3\geq 4b\sqrt{a+c}; 2a^3+b^3+c^3\geq 4a\sqrt{b+c}\)

Cộng theo vế các BĐT vừa thu được:

\(\Rightarrow a^3+b^3+c^3\geq a\sqrt{b+c}+b\sqrt{c+a}+c\sqrt{a+b}\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=\sqrt[3]{2}$

Bình luận (0)
 Khách vãng lai đã xóa
tthnew
5 tháng 11 2019 lúc 19:02

Another way mặc dù không hay hiha

\(VP=\sqrt{\left(\Sigma a\sqrt{b+c}\right)^2}\le\sqrt{3\left[\Sigma_{cyc}ab\left(a+b\right)\right]}\)

\(\le\sqrt{3\left(a^3+b^3+c^3+3abc\right)}\)(BĐT Schur bậc 3)\(=\sqrt{3\left(a^3+b^3+c^3+6\right)}\)

Ta cần chứng minh \(\sqrt{3\left(a^3+b^3+c^3+6\right)}\le a^3+b^3+c^3\)(*)

\(\Leftrightarrow\left(a^3+b^3+c^3-6\right)\left(a^3+b^3+c^3+3\right)\ge0\)

BĐT này là đúng vì \(\left\{{}\begin{matrix}a,b,c>0\\a^3+b^3+c^3\ge3abc=6\end{matrix}\right.\) do đó (*) đúng.

Vậy BĐT đã được chứng minh.

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\sqrt[3]{2}\)

Bình luận (0)
 Khách vãng lai đã xóa

Các câu hỏi tương tự
Nguyễn Thế Hiếu
Xem chi tiết
Nguyễn Bùi Đại Hiệp
Xem chi tiết
Võ Thùy Trang
Xem chi tiết
yeens
Xem chi tiết
Minecraftboy01
Xem chi tiết
Pi Vân
Xem chi tiết
Thuyết Dương
Xem chi tiết
:vvv
Xem chi tiết
Nguyễn Thu Trà
Xem chi tiết