Question

Bài 1. Cho x > 0 và x² + \(\frac{1}{x^2}\) = 7. Tính \(x^5+\frac{1}{x^5}\)
Bài 2. Cho x² + y² + z² = xy + yz + zx và x²⁰¹⁶ + y²⁰¹⁶ + z²⁰¹⁶ = 3²⁰¹⁷
Bài 3. Cho a, b, c khác nhau thỏa mãn: a²(b + c) = b²(c + a) = 2019. Tính c²(a + b)
Bài 4. Tìm x, y nguyên dương thỏa mãn: 3xy + x + 15y - 2 = 0

Answer 1

Bài 2:

Ta có:

\(x^2+y^2+z^2=xy+yz+xz\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz=0\)

\(\Leftrightarrow 2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2xz=0\)

\(\Leftrightarrow (x^2+y^2-2xy)+(y^2+z^2-2yz)+(z^2+x^2-2xz)=0\)

\(\Leftrightarrow (x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2=0\)

Ta thấy $(x-y)^2; (y-z)^2; (z-x)^2\geq 0, \forall x,y,z\in\mathbb{R}$

Do đó để $(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2=0$ thì $(x-y)^2=(y-z)^2=(z-x)^2=0$

Hay $x=y=z$

Thay vào điều kiện thứ 2:

$\Rightarrow x^{2016}+x^{2016}+x^{2016}=3^{2017}$

$\Leftrightarrow 3.x^{2016}=3^{2017}$

$\Leftrightarrow $x=3$

$\Rightarrow y=z=x=3$

Vậy $x=y=z=3$

Answer 2

Bài 1:

\(x^2+\frac{1}{x^2}=2\Leftrightarrow (x+\frac{1}{x})^2-2.x.\frac{1}{x}=7\Leftrightarrow (x+\frac{1}{x})^2=9\)

\(\Rightarrow x+\frac{1}{x}=3\) (do \(x>0\rightarrow x+\frac{1}{x}>0\))

\(\Rightarrow (x+\frac{1}{x})^3=27\)

\(\Leftrightarrow x^3+\frac{1}{x^3}+3x.\frac{1}{x}(x+\frac{1}{x})=27\)

\(\Leftrightarrow x^3+\frac{1}{x^3}+3.3=27\Leftrightarrow x^3+\frac{1}{x^3}=18\)

Do đó:

\(x^5+\frac{1}{x^5}=(x^2+\frac{1}{x^2})(x^3+\frac{1}{x^3})-(x+\frac{1}{x})=7.18-3=123\)

Answer 3

Bài 2:

Ta có:

\(x^2+y^2+z^2=xy+yz+xz\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2-xy-yz-xz=0\)

\(\Leftrightarrow 2x^2+2y^2+2z^2-2xy-2yz-2xz=0\)

\(\Leftrightarrow (x^2+y^2-2xy)+(y^2+z^2-2yz)+(z^2+x^2-2xz)=0\)

\(\Leftrightarrow (x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2=0\)

Ta thấy $(x-y)^2; (y-z)^2; (z-x)^2\geq 0, \forall x,y,z\in\mathbb{R}$

Do đó để $(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2=0$ thì $(x-y)^2=(y-z)^2=(z-x)^2=0$

Hay $x=y=z$

Thay vào điều kiện thứ 2:

$\Rightarrow x^{2016}+x^{2016}+x^{2016}=3^{2017}$

$\Leftrightarrow 3.x^{2016}=3^{2017}$

$\Leftrightarrow $x=3$

$\Rightarrow y=z=x=3$

Vậy $x=y=z=3$

Answer 4

Bài 3:

Theo bài ra ta có:

\(a^2(b+c)=b^2(c+a)\)

\(\Leftrightarrow a^2b+a^2c-b^2c-b^2a=0\)

\(\Leftrightarrow (a^2b-ab^2)+(a^2c-b^2c)=0\)

\(\Leftrightarrow ab(a-b)+c(a^2-b^2)=0\Leftrightarrow ab(a-b)+c(a-b)(a+b)=0\)

\(\Leftrightarrow (a-b)(ab+bc+ac)=0\)

Vì $a,b$ khác nhau nên $a-b\neq 0$. Do đó $ab+bc+ac=0$

\(\Rightarrow c^2(a+b)=c(ca+cb)=c(-ab)=a(-bc)=a(ab+ac)=a^2(b+c)=2019\)

Vậy.......

Answer 5

Bài 4:

\(3xy+x+15y-2=0\)

\(\Leftrightarrow 3y(x+5)=2-x\)

Nếu $x=-5$ thì $3y.0=7$ (vô lý)

Nếu $x\neq -5\Rightarrow x+5\neq 0\Rightarrow 3y=\frac{2-x}{x+5}$

Vì $y\in\mathbb{Z}$ nên $\frac{2-x}{x+5}\in\mathbb{Z}$

$Leftrightarrow 2-x\vdots x+5$

$\Leftrightarrow 7-(x+5)\vdots 5$

$\Leftrightarrow 7\vdots x+5$

Vì $x$ nguyên dương nên $x+5>5$. Do đó $x+5=7$

$\Rightarrow x=2$

Khi đó: \(3y=\frac{2-x}{x+5}=0\Rightarrow y=0\) (vô lý vì $y$ nguyên dương)

Vậy không tồn tại $x,y$ thỏa mãn đề bài.