Violympic toán 9

Lan Trịnh Thị

Cho x,y,z là các số thực dương, tìm GTNN của biểu thức

P=\(x^2+y^2+z^2+\frac{x^3}{y^2+z^2}+\frac{y^3}{x^2+z^2}+\frac{z^3}{x^2+y^2}-\frac{7}{6}\left(x+y+z\right)\)

Nguyễn Việt Lâm
27 tháng 10 2019 lúc 11:03

Vấn đề duy nhất của bài này là đánh giá cụm \(\frac{x^3}{y^2+z^2}+\frac{y^3}{z^2+x^2}+\frac{z^3}{x^2+y^2}\)

Trước hết, ta chứng minh bổ đề sau:

Với hai dãy số dương \(x\ge y\ge z\)\(a\ge b\ge c\) ta luôn có: \(ax+by+cz\ge bx+cy+az\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)x+\left(b-c\right)y+\left(c-a\right)z\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)x-\left(a-b\right)y+\left(a-c\right)y-\left(a-c\right)z\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(x-y\right)+\left(a-c\right)\left(y-z\right)\ge0\) (luôn đúng)

Không mất tính tổng quát, giả sử \(x\ge y\ge z\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^3\ge y^3\ge z^3\\\frac{1}{y^2+z^2}\ge\frac{1}{z^2+x^2}\ge\frac{1}{x^2+y^2}\end{matrix}\right.\)

Áp dụng bổ đề ta có:

\(\frac{x^3}{y^2+z^2}+\frac{y^3}{z^2+x^2}+\frac{z^3}{x^2+y^2}\ge\frac{y^3}{y^2+z^2}+\frac{z^3}{z^3+x^2}+\frac{x^3}{x^2+y^2}\)

Mặt khác: \(\frac{x^3}{x^2+y^2}=x-\frac{xy^2}{x^2+y^2}\ge x-\frac{xy^2}{2xy}=x-\frac{1}{2}y\)

Tương tự và cộng lại: \(\frac{x^3}{x^2+y^2}+\frac{y^3}{y^2+z^2}+\frac{z^3}{x^2+z^2}\ge\frac{1}{2}\left(x+y+z\right)\)

\(\Rightarrow P\ge\frac{1}{3}\left(x+y+z\right)^2+\frac{1}{2}\left(x+y+z\right)-\frac{7}{6}\left(x+y+z\right)\)

\(P\ge\frac{1}{3}\left(x+y+z\right)^2-\frac{2}{3}\left(x+y+z\right)+\frac{1}{3}-\frac{1}{3}\)

\(P\ge\frac{1}{3}\left(x+y+z-1\right)^2-\frac{1}{3}\ge-\frac{1}{3}\)

\(P_{min}=-\frac{1}{3}\) khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\)

Bình luận (0)
 Khách vãng lai đã xóa
Lan Trịnh Thị
3 tháng 10 2019 lúc 14:53

@Nguyễn Việt Lâm Anh ơi giúp em nốt bài với ạ !!!

Bình luận (0)
 Khách vãng lai đã xóa
Lan Trịnh Thị
3 tháng 10 2019 lúc 14:53
Bình luận (0)
 Khách vãng lai đã xóa
tthnew
3 tháng 10 2019 lúc 14:53

Dễ dàng chứng minh được \(\frac{x^3}{y^2+z^2}+\frac{y^3}{z^2+x^2}+\frac{z^3}{x^2+y^2}\ge\frac{x+y+z}{2}\)(khi nào rảnh em gõ ha! Giờ lười lắm:v)

Do đó \(P\ge x^2+y^2+z^2+\frac{x+y+z}{2}-\frac{7}{6}\left(x+y+z\right)\)

\(\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}-\frac{2}{3}\left(x+y+z\right)=\frac{t^2-2t}{3}\) (đặt t = x+y+z)

\(=\frac{\left(t^2-2t+1\right)-1}{3}=\frac{\left(t-1\right)^2-1}{3}\ge-\frac{1}{3}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}x=y=z\\t=x+y+z=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{3}\)

P/s: Is that true?

Bình luận (0)
 Khách vãng lai đã xóa
Lan Trịnh Thị
25 tháng 10 2019 lúc 19:39

@Nk>↑@ giúp mình với !!

Bình luận (0)
 Khách vãng lai đã xóa
Lê Nguyên Cát
3 tháng 11 2019 lúc 15:50

@Akai Haruma bài này còn cách nào ngắn hơn ko ạ !!?

Bình luận (0)
 Khách vãng lai đã xóa
Nguyễn Túc Cầu
7 tháng 11 2019 lúc 20:35

Akai Haruma bài này có thể giải bằng cách nào khác nx ngoài cách trên ko ạ .

Bình luận (0)
 Khách vãng lai đã xóa

Các câu hỏi tương tự
Kakarot Songoku
Xem chi tiết
mr. killer
Xem chi tiết
tran thi mai anh
Xem chi tiết
Kakarot Songoku
Xem chi tiết
Nguyễn Bùi Đại Hiệp
Xem chi tiết
phuc Nguyễn văn
Xem chi tiết
Angela jolie
Xem chi tiết
Angela jolie
Xem chi tiết
fghj
Xem chi tiết