Question

Cho hình chữ nhật ABCD. Nối C với một điểm E bất kỳ trên đường chéo BD. Trên tia đối của tia EC lấy điểm F sao cho EF = EC. Vẽ FH và FK lần lượt vuông góc với AB và AD. Chứng minh rằng:
a) Tứ giác AHFK là hình chữ nhật.
b) AF song song với BD và KH song song với AC.
c) Ba điểm E, H, K thẳng hàng.

Answer 1

a)Xét tứ giác AHFK có góc AHF=90 (gt), góc HAK=90 (gt), góc AKF=90 (gt)

=> Tứ giác AHFK là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biest hình chữ nhật)

b) Gọi O là giao điểm của AC và BD, M là giao điểm của HK và AF

Xét tam giác CAF có CO=OA (gt), CE=EF(gt)

=> OE là đường trung bịnh của tam giác CAF

=> OE // AF (tính chất đường trung bình của tam giác)

hay BD//AF

Ta có OA=OD (ABCD là hình chữ nhật)

=> Tam giác OAD cân tại O

=> Góc OAD = góc ODA

Mà góc ODA=góc FAD (so le trong)

=>góc OAD = góc FAD

hay góc CAD=góc MAK(1)

Ta lại có MA = MK(AHFK là hình chữ nhật)

=> Tam giác MAK cân tại M

=> Góc MAK= góc MKA (2)

Từ (1) và (2) => góc CAD = góc MKA

hay góc CAD = góc HKA

=> AC // HK (có cặp góc so le trong bằng nhau)

c) Xét tam giác FAC có FM = MA (AHFK là hình chữ nhật), FE = EC (gt)

=> ME là đường trung bình của tam giác FAC

=>ME // AC (tính chất) (3)

Mà HK//AC (cmt) (4)

Mặt khác M thuộc AC (5)

Từ (3), (4) và (5) => Ba điểm H, K, E thẳng hàng (đpcm).

Chúc bạn học tốt!